Operaciones matriciales e inversión de matrices

**(a) Calcule la matriz $X$ tal que $X = A^2 + B^2 - 2AB$. (1 punto)** Para calcular $X$, primero debemos obtener cada uno de los términos de la expresión. Empezamos calculando $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot1 + 0\cdot2 + 1\cdot0, \, 1\cdot0 + 0\cdot2 + 1\cdot(-1), \, 1\cdot1 + 0\cdot2 + 1\cdot1) = (1, -1, 2)$ - Fila 2: $(2\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot0, \, 2\cdot0 + 2\cdot2 + 2\cdot(-1), \, 2\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot1) = (6, 2, 8)$ - Fila 3: $(0\cdot1 - 1\cdot2 + 1\cdot0, \, 0\cdot0 - 1\cdot2 + 1\cdot(-1), \, 0\cdot1 - 1\cdot2 + 1\cdot1) = (-2, -3, -1)$ $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 8 \\ -2 & -3 & -1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos ahora $B^2 = B \cdot B$: $$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Operamos: - Fila 1: $(1\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot0, \, 1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot1, \, 1\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1) = (1, 1, 2)$ - Fila 2: $(1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot0, \, 1\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot1, \, 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1) = (2, 2, 3)$ - Fila 3: $(0\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot0, \, 0\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot1, \, 0\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1) = (1, 2, 2)$ $$\boxed{B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}}$$

Calculamos primero el producto $AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 6 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado, en matrices la identidad notable $(A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB$ solo se cumple si $AB = BA$. Como generalmente $AB \neq BA$, debemos calcular cada término de la expresión original por separado. Multiplicamos el resultado por el escalar $2$: $$\boxed{2AB = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 8 & 8 & 12 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, sustituimos los resultados anteriores en la expresión $X = A^2 + B^2 - 2AB$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 8 \\ -2 & -3 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 8 & 8 & 12 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1+1-2 & -1+1-2 & 2+2-4 \\ 6+2-8 & 2+2-8 & 8+3-12 \\ -2+1-(-2) & -3+2-0 & -1+2-0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado Final (a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**(b) Halle la inversa de la matriz $A$. (1,5 puntos)** Para hallar la inversa $A^{-1}$, primero calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 2 \cdot 1) + (0 \cdot 2 \cdot 0) + (1 \cdot 2 \cdot (-1)) - [ (0 \cdot 2 \cdot 1) + (-1 \cdot 2 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 0) ]$$ $$|A| = (2 + 0 - 2) - (0 - 2 + 0) = 0 - (-2) = 2$$ Como $|A| = 2 \neq 0$, la matriz **es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

Calculamos la matriz de los adjuntos, $\text{Adj}(A)$, hallando el determinante de los menores correspondientes con su signo: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-2) = 4$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - (-1)) = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 2) = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

La fórmula de la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [\text{Adj}(A)]^T$$ Primero trasponemos la matriz adjunta: $$[\text{Adj}(A)]^T = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por $1/|A| = 1/2$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado Final (b):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1/2 & -1 \\ -1 & 1/2 & 0 \\ -1 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}}$$