Probabilidad y Estadística 2018 Extremadura
Probabilidad de uso de carro y género en un centro comercial
4.- En un centro comercial el 35 % de los clientes utiliza carro. El 70 % de los que utilizan carro son hombres y el 40 % de los no que no utilizan carro son mujeres.
(a) Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea mujer. (0,75 puntos)
(b) Sabiendo que un cliente elegido al azar ha sido hombre, qué probabilidad hay de que utilice carro. (0,75 puntos)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales a partir de los datos proporcionados:
- $C$: El cliente utiliza carro.
- $\bar{C}$: El cliente no utiliza carro.
- $H$: El cliente es hombre.
- $M$: El cliente es mujer.
Datos del enunciado:
- $P(C) = 0,35 \implies P(\bar{C}) = 1 - 0,35 = 0,65$
- $P(H|C) = 0,70 \implies P(M|C) = 1 - 0,70 = 0,30$
- $P(M|\bar{C}) = 0,40 \implies P(H|\bar{C}) = 1 - 0,40 = 0,60$
Representamos esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que sea mujer
**(a) Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea mujer. (0,75 puntos)**
Para hallar $P(M)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Una mujer puede pertenecer al grupo que usa carro o al que no lo usa:
$$P(M) = P(C \cap M) + P(\bar{C} \cap M)$$
$$P(M) = P(C) \cdot P(M|C) + P(\bar{C}) \cdot P(M|\bar{C})$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(M) = (0,35 \cdot 0,30) + (0,65 \cdot 0,40)$$
$$P(M) = 0,105 + 0,260 = 0,365$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que terminan en un suceso (en este caso, M) nos da la probabilidad total de dicho suceso.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M) = 0,365}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada
**(b) Sabiendo que un cliente elegido al azar ha sido hombre, qué probabilidad hay de que utilice carro. (0,75 puntos)**
Nos piden calcular la probabilidad condicionada $P(C|H)$. Según la definición de probabilidad condicionada:
$$P(C|H) = \frac{P(C \cap H)}{P(H)}$$
Primero, necesitamos calcular $P(H)$. Podemos hacerlo restando la probabilidad de mujer al total, ya que son sucesos complementarios:
$$P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0,365 = 0,635$$
Ahora, del árbol sabemos que:
$$P(C \cap H) = P(C) \cdot P(H|C) = 0,35 \cdot 0,70 = 0,245$$
Finalmente, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(C|H) = \frac{0,245}{0,635} \approx 0,3858$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza cuando nos dan el resultado final (es hombre) y queremos saber la probabilidad de una de las causas iniciales (usa carro).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|H) = \frac{0,245}{0,635} \approx 0,3858}$$