Estudio de la función valor absoluto e integral definida

**(a) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f(x)$. (1 punto)** Para estudiar la continuidad de la función $f(x) = |x|$, observamos que en los intervalos $(-\infty, 0)$ y $(0, +\infty)$ la función es polinómica ($-x$ y $x$ respectivamente), por lo que es continua. El único punto de posible discontinuidad es el punto de salto entre ramas $x = 0$. Calculamos los límites laterales en $x = 0$: 1. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ 2. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ 3. Valor de la función: $f(0) = 0$ Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$, la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si existen sus límites laterales, son iguales entre sí y coinciden con el valor de la función en dicho punto. $$\boxed{\text{f(x) es continua en } \mathbb{R}}$$

Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. La derivada de $f(x)$ para $x \neq 0$ es: $$f'(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \gt 0, \\ -1 & \text{si } x \lt 0. \end{cases}$$ Para comprobar si es derivable en $x = 0$, calculamos las derivadas laterales (límites de la función derivada): - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$ - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (1) = 1$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$**. Geométricamente, esto se traduce en un punto anguloso. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y, además, sus derivadas laterales deben coincidir. $$\boxed{\text{f(x) es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**(b) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de $f(x)$ y justifique si en el punto $x = 0$ la función $f(x)$ tiene un mínimo relativo. (1 punto)** Analizamos el signo de la derivada $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x = 0$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) = -1 \lt 0$, luego $f(x)$ es **estrictamente decreciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) = 1 \gt 0$, luego $f(x)$ es **estrictamente creciente**. Justificación del mínimo: Dado que la función es continua en $x = 0$, decrece a su izquierda y crece a su derecha, existe un **mínimo relativo** (que además es absoluto) en el punto $(0, f(0)) = (0, 0)$. $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, 0), \text{ Creciente en } (0, +\infty). \text{ Mínimo en } x=0}$$

**(c) Dibuje el recinto plano limitado entre las funciones $f(x) = |x|$ y $g(x) = 2 - x^2$ y calcule su área. (1,5 puntos)** Primero, buscamos los puntos de corte entre $f(x)$ y $g(x)$ igualando ambas funciones: 1. Para $x \ge 0$: $x = 2 - x^2 \implies x^2 + x - 2 = 0$. Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, \, x_2 = -2$$ Como estamos en la rama $x \ge 0$, solo tomamos **$x = 1$**. 2. Para $x \lt 0$: $-x = 2 - x^2 \implies x^2 - x - 2 = 0$. $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x_3 = 2, \, x_4 = -1$$ Como estamos en la rama $x \lt 0$, solo tomamos **$x = -1$**. Los puntos de corte son $(-1, 1)$ y $(1, 1)$. 💡 **Tip:** Ambas funciones son simétricas respecto al eje $Y$ (son funciones pares), lo que simplificará el cálculo de la integral.

El área del recinto es la integral de la función superior menos la función inferior entre los límites de corte. En el intervalo $[-1, 1]$, la parábola $g(x) = 2 - x^2$ está por encima de $f(x) = |x|$. Debido a la simetría par de ambas funciones, podemos calcular el área como el doble de la integral de $0$ a $1$: $$A = \int_{-1}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si $f(x)$ es par, $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$. Esto ahorra tiempo y reduce errores con los signos. **Representación gráfica del recinto:**

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: $$A = 2 \left( \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - (0) \right)$$ $$A = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right)$$ Buscamos denominador común (6): $$A = 2 \left( \frac{12}{6} - \frac{2}{6} - \frac{3}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$$ El área total es $\frac{7}{3}$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{7}{3} \approx 2,33 \text{ u}^2}$$