Cálculo de puntos en una recta para un área de triángulo dada

Para encontrar los puntos $P$ de la recta $r$, primero debemos expresar dicha recta en su forma paramétrica. Sabemos que la recta pasa por el punto $C(1, 0, 2)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (-1, 0, 0)$. Por tanto, cualquier punto $P$ perteneciente a $r$ tendrá la forma: $$P = C + \lambda \vec{v} = (1, 0, 2) + \lambda(-1, 0, 0)$$ $$P = (1 - \lambda, 0, 2)$$ donde $\lambda$ es un parámetro real. 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ con vector $(v_x, v_y, v_z)$ son $x = x_0 + \lambda v_x$, $y = y_0 + \lambda v_y$, $z = z_0 + \lambda v_z$. $$\boxed{P(\lambda) = (1 - \lambda, 0, 2)}$$

Para calcular el área del triángulo $ABP$, necesitamos dos vectores que compartan un vértice común, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AP}$. Calculamos las coordenadas de los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 2, 0 - 0, 3 - 1) = (0, 0, 2)$$ $$\vec{AP} = P - A = (1 - \lambda - 2, 0 - 0, 2 - 1) = (-1 - \lambda, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A$, $B$ y $P$ viene dada por la fórmula: $Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AP}|$. $$\boxed{\vec{AB} = (0, 0, 2), \quad \vec{AP} = (-1 - \lambda, 0, 1)}$$

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AP}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 2 \\ -1-\lambda & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por los elementos de la primera fila: $$\vec{AB} \times \vec{AP} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1-\lambda & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1-\lambda & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AP} = \vec{i}(0) - \vec{j}(0 - 2(-1-\lambda)) + \vec{k}(0)$$ $$\vec{AB} \times \vec{AP} = 0\vec{i} - (2 + 2\lambda)\vec{j} + 0\vec{k}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AP} = (0, -2 - 2\lambda, 0)$$ $$\boxed{\vec{AB} \times \vec{AP} = (0, -2 - 2\lambda, 0)}$$

El área del triángulo debe ser igual a 2. Aplicamos la fórmula del módulo del producto vectorial: $$Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AP}| = 2$$ $$\frac{1}{2} \sqrt{0^2 + (-2 - 2\lambda)^2 + 0^2} = 2$$ $$\frac{1}{2} | -2 - 2\lambda | = 2$$ $$| -1 - \lambda | = 2$$ Esto nos da dos posibles ecuaciones debido al valor absoluto: 1. $-1 - \lambda = 2 \implies -\lambda = 3 \implies \lambda_1 = -3$ 2. $-1 - \lambda = -2 \implies -\lambda = -1 \implies \lambda_2 = 1$ 💡 **Tip:** Recuerda que $|x| = a$ implica que $x = a$ o $x = -a$. $$\boxed{\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 1}$$

Sustituimos los valores obtenidos para $\lambda$ en la expresión del punto genérico $P(1 - \lambda, 0, 2)$: Para $\lambda_1 = -3$: $$P_1 = (1 - (-3), 0, 2) = (4, 0, 2)$$ Para $\lambda_2 = 1$: $$P_2 = (1 - 1, 0, 2) = (0, 0, 2)$$ Los puntos de la recta $r$ tales que el área del triángulo $ABP$ es 2 son: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P_1(4, 0, 2) \text{ y } P_2(0, 0, 2)}$$