Rango de una matriz con parámetro y resolución de sistema

**(a) Determine el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$. (1,5 puntos)** Para estudiar el rango de la matriz $A$, que es de dimensión $3 \times 3$, calculamos primero su determinante. El rango será 3 si el determinante es distinto de cero. Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ a & 0 & a \\ -2 & a & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot a \cdot (-2)) + (1 \cdot a \cdot a) - [(-2) \cdot 0 \cdot 1 + a \cdot a \cdot 0 + 0 \cdot a \cdot 1]$$ Operamos: $$|A| = 0 - 2a + a^2 - [0 + 0 + 0] = a^2 - 2a$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. En una matriz cuadrada, si el determinante es distinto de cero, el rango es igual a su orden. $$\boxed{|A| = a(a - 2)}$$

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $a$: $$a^2 - 2a = 0 \implies a(a - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $a = 0$ 2. $a = 2$ Ahora analizamos el rango según estos valores: **Caso 1: $a \neq 0$ y $a \neq 2$** En este caso $|A| \neq 0$, por lo tanto, la matriz es regular y el rango es máximo. $$\text{rango}(A) = 3$$ **Caso 2: $a = 0$** Sustituimos $a=0$ en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Como el determinante es 0, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, **rango(A) = 2**. **Caso 3: $a = 2$** Sustituimos $a=2$ en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, **rango(A) = 2**. ✅ **Resultado (Discusión del rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 0 \text{ y } a \neq 2 \implies \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } a = 0 \text{ o } a = 2 \implies \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**(b) Para $a = 1$ resuelva, si existe solución, la ecuación matricial $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. (1 punto)** Primero comprobamos el valor del determinante para $a=1$: $$|A| = 1^2 - 2(1) = -1$$ Como $|A| \neq 0$ para $a=1$, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado** (tiene solución única). La ecuación matricial es: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Que equivale al sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} y + z = 1 \\ x + z = 1 \\ -2x + y = 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para resolver un sistema con solución única, podemos usar la Regla de Cramer, el método de Gauss o la matriz inversa $X = A^{-1}B$.

Aplicamos la Regla de Cramer sabiendo que $|A| = -1$: Calculamos la incógnita $x$: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{(0 + 1 + 1) - (0 + 1 + 0)}{-1} = \frac{2 - 1}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$$ Calculamos la incógnita $y$: $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{(0 - 2 + 1) - (-2 + 0 + 0)}{-1} = \frac{-1 - (-2)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$$ Calculamos la incógnita $z$: $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{(0 - 2 + 1) - (0 + 0 + 1)}{-1} = \frac{-1 - 1}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -1, \quad y = -1, \quad z = 2}$$