Probabilidad con distribución Binomial

**a) Tres o menos personas. (1,5 puntos)** En primer lugar, debemos definir la variable aleatoria y comprobar si se ajusta a una distribución conocida. Definimos $X$ como la variable que cuenta el "número de personas que ven el concurso de televisión de entre las 10 elegidas". Se trata de un experimento de Bernoulli que se repite $n=10$ veces, donde cada observación es independiente y la probabilidad de éxito $p$ (ver el programa) es constante: - Probabilidad de éxito: $p = 30\% = 0,3$. - Probabilidad de fracaso: $q = 1 - p = 0,7$. - Número de ensayos: $n = 10$. Por tanto, la variable $X$ sigue una **distribución Binomial**: $$X \sim B(10; \, 0,3)$$ 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se utiliza cuando tenemos $n$ experimentos independientes con dos posibles resultados (éxito o fracaso) y la probabilidad de éxito $p$ es constante.

Para calcular la probabilidad de que tres o menos personas vean el concurso, debemos sumar las probabilidades puntuales desde $0$ hasta $3$: $$P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$$ Utilizamos la fórmula de la probabilidad para una binomial: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ 1. **Para $k=0$:** $P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0,3^0 \cdot 0,7^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0,0282475 \approx 0,0282$ 2. **Para $k=1$:** $P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0,3^1 \cdot 0,7^9 = 10 \cdot 0,3 \cdot 0,0403536 \approx 0,1211$ 3. **Para $k=2$:** $P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^8 = 45 \cdot 0,09 \cdot 0,057648 \approx 0,2335$ 4. **Para $k=3$:** $P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^7 = 120 \cdot 0,027 \cdot 0,082354 \approx 0,2668$ Sumamos los resultados: $P(X \le 3) = 0,0282 + 0,1211 + 0,2335 + 0,2668 = 0,6496$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{k}$ se calcula como $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Por ejemplo, $\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 3) = 0,6496}$$

**b) Ninguna de las 10 personas a las que se ha llamado. (1 punto)** En este apartado se nos pide la probabilidad de que exactamente $0$ personas estén viendo el concurso, es decir, $P(X=0)$. Utilizando de nuevo la variable definida en el apartado anterior $X \sim B(10; \, 0,3)$: $$P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0,3^0 \cdot 0,7^{10}$$ Como ya calculamos en el paso anterior: - $\binom{10}{0} = 1$ - $0,3^0 = 1$ - $0,7^{10} = 0,0282475249$ Por tanto: $$P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0,0282475... \approx 0,0282$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurran cero éxitos es siempre igual a la probabilidad de fracaso elevada al número total de intentos ($q^n$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 0) = 0,0282}$$