Posición relativa de dos rectas y ecuación del plano

**a) Demostrar que las rectas $r_1$ y $r_2$ son coplanarias. (1,25 puntos)** Para estudiar la posición relativa de dos rectas, primero extraemos un punto y un vector director de cada una a partir de sus ecuaciones continuas. De la recta $r_1 \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+2}{2}$: - Punto $P_1(1, 1, -2)$ - Vector director $\vec{v}_1(1, -1, 2)$ De la recta $r_2 \equiv \frac{x+5}{4} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z+4}{3}$: - Punto $P_2(-5, 3, -4)$ - Vector director $\vec{v}_2(4, -2, 3)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_x, v_y, v_z)$. ¡Cuidado con los signos en el punto!

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ son paralelos comparando sus coordenadas: $$\frac{1}{4} \neq \frac{-1}{-2} \neq \frac{2}{3}$$ Como las coordenadas no son proporcionales, los vectores **no son paralelos**. Esto implica que las rectas se cortan en un punto o se cruzan en el espacio. Para que sean coplanarias (que estén en el mismo plano), deben cortarse en un punto.

Dos rectas son coplanarias si el determinante formado por sus vectores directores y el vector que une un punto de cada recta es igual a cero. Calculamos el vector $\vec{P_1P_2}$: $$\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (-5-1, 3-1, -4-(-2)) = (-6, 2, -2)$$ Calculamos el determinante $D = \det(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{P_1P_2})$ mediante la regla de Sarrus: $$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \\ -6 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollo por Sarrus: $$D = [1 \cdot (-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 \cdot (-6) + 2 \cdot 4 \cdot 2] - [2 \cdot (-2) \cdot (-6) + 3 \cdot 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) \cdot 4]$$ $$D = [4 + 18 + 16] - [24 + 6 + 8]$$ $$D = 38 - 38 = 0$$ Como el determinante es **cero** y los vectores directores no son paralelos, las rectas **se cortan en un punto** y, por tanto, **son coplanarias**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r_1 \text{ y } r_2 \text{ son coplanarias porque } \det(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{P_1P_2}) = 0}$$

**b) Hallar la ecuación del plano que determinan. (1,25 puntos)** El plano $\pi$ que contiene a ambas rectas tendrá como vectores directores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$. El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{n} = [(-1) \cdot 3 \cdot \vec{i} + 2 \cdot 4 \cdot \vec{j} + 1 \cdot (-2) \cdot \vec{k}] - [4 \cdot (-1) \cdot \vec{k} + (-2) \cdot 2 \cdot \vec{i} + 3 \cdot 1 \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{n} = (-3\vec{i} + 8\vec{j} - 2\vec{k}) - (-4\vec{k} - 4\vec{i} + 3\vec{j})$$ $$\vec{n} = (-3 + 4)\vec{i} + (8 - 3)\vec{j} + (-2 + 4)\vec{k}$$ $$\vec{n} = (1, 5, 2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a los otros dos, que es ideal como vector normal $(A, B, C)$ del plano.

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las coordenadas del vector normal $\vec{n}(1, 5, 2)$: $$1x + 5y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por un punto de una de las rectas, por ejemplo $P_1(1, 1, -2)$: $$1(1) + 5(1) + 2(-2) + D = 0$$ $$1 + 5 - 4 + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$x + 5y + 2z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 5y + 2z - 2 = 0}$$