Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**a) Estudiar el sistema para los distintos valores de $k$ (1,5 puntos)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & k & k-1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calcularemos el determinante de la matriz $A$ y buscaremos los valores de $k$ que lo anulan. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que si $rang(A) = rang(A^*)$, el sistema es compatible; si además coincide con el número de incógnitas, es determinado.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix} = (k^2 + 1 + 2) - (k + 1 + 2k)$$ Simplificamos la expresión: $$|A| = k^2 + 3 - 3k - 1 = k^2 - 3k + 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$k^2 - 3k + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$k_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad k_2 = \frac{2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Estos valores de $k$ son los que hacen que el rango de $A$ sea menor que $3$.

Si $k \neq 1$ y $k \neq 2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $rang(A) = 3$ - $rang(A^*) = 3$ - Número de incógnitas = 3 Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, por lo que tiene una solución única para cada valor de $k$. $$\boxed{\text{Si } k \neq 1, 2 \implies \text{SCD (Solución única)}} $$

Si $k = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila son iguales ($F_1 = F_3$), por lo que podemos prescindir de una de ellas. El determinante de la submatriz de orden 2 formada por las dos primeras filas y columnas es: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies rang(A) = 2$$ Dado que $F_1 = F_3$ en toda la matriz ampliada, el rango de $A^*$ también es 2. Como $rang(A) = rang(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. $$\boxed{\text{Si } k = 1 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)}}$$

Si $k = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \implies rang(A) = 2$$ Ahora estudiamos el $rang(A^*)$ calculando el determinante de un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 2 + 0) - (0 + 4 + 2) = 3 - 6 = -3 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, $rang(A^*) = 3$. Como $rang(A) \neq rang(A^*)$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. $$\boxed{\text{Si } k = 2 \implies \text{SI (No tiene solución)}}$$

**b) Resolver el sistema para $k = 1$ (1 punto)** Como vimos en el apartado anterior, para $k=1$ el sistema es **Compatible Indeterminado**. El sistema reducido (usando las dos primeras ecuaciones, ya que $F_1 = F_3$) es: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$ Parametrizamos una de las variables. Sea $z = \lambda$: $$\begin{cases} x + y = -\lambda \\ 2x + y = 2 - \lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar la $y$: $$(2x + y) - (x + y) = (2 - \lambda) - (-\lambda)$$ $$x = 2$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$2 + y = -\lambda \implies y = -2 - \lambda$$ 💡 **Tip:** Las soluciones de un sistema compatible indeterminado dependen de uno o más parámetros reales (en este caso, uno, ya que $n - rang = 3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2 \\ y = -2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$