Cálculo de parámetros en punto de inflexión

Para que la función $f(x) = a\sqrt{3x+3} + b\sqrt{x-1}$ tenga un punto de inflexión en $(2,8)$, se deben cumplir dos condiciones fundamentales: 1. **Condición de pertenencia:** El punto $(2,8)$ debe pertenecer a la gráfica de la función, es decir: $f(2) = 8$. 2. **Condición de punto de inflexión:** En un punto de inflexión, la segunda derivada debe ser nula (o no existir), por lo que: $f''(2) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que un punto $(x_0, y_0)$ sea un punto de inflexión, no solo se debe cumplir $f''(x_0)=0$, sino que también debe haber un cambio de curvatura (cambio de signo en $f''$) en ese entorno.

Sustituimos $x=2$ en la función original e igualamos a $8$: $$f(2) = a\sqrt{3(2)+3} + b\sqrt{2-1} = 8$$ Operamos los radicales: $$a\sqrt{9} + b\sqrt{1} = 8$$ $$3a + b = 8$$ Obtenemos nuestra primera ecuación: $$\boxed{3a + b = 8 \quad [\text{Ecuación 1}]}$$

Expresamos la función en forma de potencias para facilitar la derivación: $$f(x) = a(3x+3)^{1/2} + b(x-1)^{1/2}$$ Calculamos la **primera derivada** usando la regla de la cadena: $$f'(x) = a \cdot \frac{1}{2}(3x+3)^{-1/2} \cdot 3 + b \cdot \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2} \cdot 1$$ $$f'(x) = \frac{3a}{2\sqrt{3x+3}} + \frac{b}{2\sqrt{x-1}}$$ Calculamos la **segunda derivada** derivando de nuevo las expresiones en forma de potencia: $$f''(x) = \frac{3a}{2} \cdot \left(-rac{1}{2}\right)(3x+3)^{-3/2} \cdot 3 + \frac{b}{2} \cdot \left(-rac{1}{2}\right)(x-1)^{-3/2}$$ $$f''(x) = -\frac{9a}{4(3x+3)^{3/2}} - \frac{b}{4(x-1)^{3/2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\frac{d}{dx}[u^n] = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Imponemos que $f''(2) = 0$: $$f''(2) = -\frac{9a}{4(3 \cdot 2 + 3)^{3/2}} - \frac{b}{4(2 - 1)^{3/2}} = 0$$ $$- \frac{9a}{4(9)^{3/2}} - \frac{b}{4(1)^{3/2}} = 0$$ Calculamos los valores numéricos: $(9)^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ $(1)^{3/2} = 1$ Sustituyendo: $$-\frac{9a}{4 \cdot 27} - \frac{b}{4} = 0 \implies -\frac{9a}{108} - \frac{b}{4} = 0$$ Simplificando $\frac{9}{108} = \frac{1}{12}$: $$-\frac{a}{12} - \frac{b}{4} = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $-12$ para simplificar: $$a + 3b = 0 \implies \boxed{a = -3b \quad [\text{Ecuación 2}]}$$

Tenemos el sistema: $$\begin{cases} 3a + b = 8 \\ a = -3b \end{cases}$$ Sustituimos la segunda ecuación en la primera: $$3(-3b) + b = 8$$ $$-9b + b = 8$$ $$-8b = 8 \implies \mathbf{b = -1}$$ Ahora calculamos $a$: $$a = -3(-1) \implies \mathbf{a = 3}$$ Los valores obtenidos son: $$\boxed{a = 3, \quad b = -1}$$

Para confirmar que es un punto de inflexión, comprobamos el signo de $f''(x)$ alrededor de $x=2$ con los valores $a=3, b=-1$. La función es $f''(x) = -\frac{27}{4(3x+3)^{3/2}} + \frac{1}{4(x-1)^{3/2}}$. El dominio de la función es $x > 1$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - \\ \text{Curvatura} & \text{Convexa (\cup)} & \text{P.I.} & \text{Cóncava (\cap)} \end{array}$$ Como existe un cambio de signo en la segunda derivada al pasar por $x=2$, se confirma que hay un punto de inflexión. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3, \quad b = -1}$$