Probabilidad Total y Teorema de Bayes: Motores Agrícolas

Para resolver este problema de probabilidad, lo primero es definir los sucesos y organizar la información en un diagrama de árbol. **Sucesos principales (fábricas):** - $A$: El motor ha sido producido por la fábrica A. - $B$: El motor ha sido producido por la fábrica B. - $C$: El motor ha sido producido por la fábrica C. **Suceso secundario (calidad):** - $D$: El motor es defectuoso. - $\bar{D}$: El motor no es defectuoso (correcto). **Probabilidades dadas:** - $P(A) = 0.30$ - $P(B) = 0.20$ - $P(C) = 0.50$ **Probabilidades condicionadas (defectuosos):** - $P(D|A) = 0.05$ - $P(D|B) = 0.20$ - $P(D|C) = 0.10$

**a) Un inspector de calidad elige un motor al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? (1,25 puntos)** Para hallar la probabilidad de que un motor sea defectuoso, $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad del suceso final $D$ es la suma de las probabilidades de llegar a $D$ a través de cada fábrica: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(D) = (0.30 \cdot 0.05) + (0.20 \cdot 0.20) + (0.50 \cdot 0.10)$$ $$P(D) = 0.015 + 0.04 + 0.05$$ $$P(D) = 0.105$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir por varias vías alternativas y excluyentes. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(D) = 0.105}$$ (o equivalentemente, un **$10.5\%$** de probabilidad).

**b) Si el inspector comprueba que el motor agrícola que elige está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido producido por la fábrica C? (1,25 puntos)** Nos piden calcular la probabilidad condicionada de que el motor no sea de C sabiendo que es defectuoso, es decir, $P(\bar{C}|D)$. Podemos calcularlo de dos formas. La más sencilla es hallar primero la probabilidad de que sea de C dado que es defectuoso mediante el **Teorema de Bayes** y luego usar el suceso complementario. Calculamos $P(C|D)$: $$P(C|D) = \frac{P(C) \cdot P(D|C)}{P(D)}$$ $$P(C|D) = \frac{0.50 \cdot 0.10}{0.105} = \frac{0.05}{0.105}$$ Ahora, la probabilidad de que **no** sea de C es: $$P(\bar{C}|D) = 1 - P(C|D)$$ $$P(\bar{C}|D) = 1 - \frac{0.05}{0.105} = \frac{0.105 - 0.05}{0.105} = \frac{0.055}{0.105}$$ Simplificamos la fracción: $$P(\bar{C}|D) = \frac{55}{105} = \frac{11}{21} \approx 0.5238$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya sabemos que ha ocurrido un efecto (el motor es defectuoso) y queremos saber la probabilidad de una de sus posibles causas. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(\bar{C}|D) = \frac{11}{21} \approx 0.5238}$$ (un **$52.38\%$** de probabilidad).