Posición relativa de tres planos

Para estudiar la posición relativa de tres planos, analizamos el sistema de ecuaciones lineales formado por sus ecuaciones implícitas: $$\begin{cases} 2x+3y-5z = -7 \\ 3x+2y+3z = 1 \\ 7x+8y-7z = -13 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -5 \\ 3 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & -7 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -5 & -7 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \\ 7 & 8 & -7 & -13 \end{pmatrix}$$ Utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli** para determinar la naturaleza del sistema y, con ello, la posición relativa. 💡 **Tip:** Recuerda que si el sistema es compatible determinado se cortan en un punto, si es compatible indeterminado se cortan en una recta o son coincidentes, y si es incompatible no tienen puntos comunes los tres a la vez.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -5 \\ 3 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & -7 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [2 \cdot 2 \cdot (-7) + 3 \cdot 3 \cdot 7 + 3 \cdot 8 \cdot (-5)] - [7 \cdot 2 \cdot (-5) + 8 \cdot 3 \cdot 2 + (-7) \cdot 3 \cdot 3]$$ $$|A| = [-28 + 63 - 120] - [-70 + 48 - 63]$$ $$|A| = [-85] - [-85] = 0$$ Como el determinante es $0$, el rango de $A$ no es $3$. Buscamos un menor de orden $2$ distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 9 = -5 \neq 0$$ Por lo tanto, **$rg(A) = 2$**.

Para calcular el rango de $A^*$, tomamos el menor de orden $2$ anterior y lo orlamos con los términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -7 \\ 3 & 2 & 1 \\ 7 & 8 & -13 \end{vmatrix} = [2 \cdot 2 \cdot (-13) + 3 \cdot 1 \cdot 7 + 3 \cdot 8 \cdot (-7)] - [7 \cdot 2 \cdot (-7) + 8 \cdot 1 \cdot 2 + (-13) \cdot 3 \cdot 3]$$ $$= [-52 + 21 - 168] - [-98 + 16 - 117]$$ $$= [-199] - [-199] = 0$$ Como todos los posibles menores de orden $3$ son cero (se puede observar que la tercera fila es la suma del doble de la primera más la segunda: $2\alpha + \beta = \gamma$), el rango de la matriz ampliada también es $2$. $$rg(A^*) = 2$$ Al ser **$rg(A) = rg(A^*) = 2$**, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Esto significa que los tres planos comparten una recta común.

Para precisar la posición, comprobamos si hay planos paralelos o coincidentes comparando sus vectores normales: - $\vec{n_\alpha} = (2, 3, -5)$ - $\vec{n_\beta} = (3, 2, 3)$ - $\vec{n_\gamma} = (7, 8, -7)$ Observamos que ninguna pareja de vectores es proporcional: $$\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}; \quad \frac{3}{7} \neq \frac{2}{8}; \quad \text{etc.}$$ Como no hay planos paralelos ni coincidentes, y el sistema es compatible indeterminado con rango $2$, los tres planos pertenecen a un mismo **haz de planos** que se cortan en una recta. 💡 **Tip:** Si el rango es $2$ y no hay filas proporcionales, los planos se cortan en una recta formando una estructura tipo "libro".

Dado que $rg(A) = rg(A^*) = 2$ y el número de incógnitas es $n=3$, el sistema tiene infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Como no existen planos paralelos entre sí: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los tres planos se cortan en una única recta (haz de planos)}}$$