Resolución de una ecuación matricial

Para resolver la ecuación $AB - CX = I$, debemos aislar el término que contiene la matriz $X$. Operamos algebraicamente manteniendo el orden de los productos, ya que el producto de matrices no es conmutativo: 1. Restamos $AB$ en ambos lados o movemos términos: $$AB - I = CX$$ 2. Para despejar $X$, si la matriz $C$ es invertible, multiplicaremos por la izquierda por su inversa $C^{-1}$: $$C^{-1}(AB - I) = C^{-1}CX$$ Como $C^{-1}C = I$: $$X = C^{-1}(AB - I)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en ecuaciones matriciales, para eliminar una matriz que multiplica por la izquierda, debes multiplicar por su inversa **también por la izquierda** en el otro miembro de la igualdad.

Calculamos $A \cdot B$. La matriz $A$ es de dimensión $2 \times 3$ y la matriz $B$ es $3 \times 2$, por lo que el resultado será una matriz $2 \times 2$. $$AB = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & -5 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} (1 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot (-2)) & (1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-5) + 1 \cdot 1) \\ (2 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + (-1) \cdot (-2)) & (2 \cdot 4 + 4 \cdot (-5) + (-1) \cdot 1) \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} 2 + 0 - 2 & 4 + 10 + 1 \\ 4 + 0 + 2 & 8 - 20 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 15 \\ 6 & -13 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{AB = \begin{pmatrix} 0 & 15 \\ 6 & -13 \end{pmatrix}}$$

Llamaremos $M$ a la matriz resultante de $AB - I$: $$M = AB - I = \begin{pmatrix} 0 & 15 \\ 6 & -13 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 0-1 & 15-0 \\ 6-0 & -13-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 15 \\ 6 & -14 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{M = \begin{pmatrix} -1 & 15 \\ 6 & -14 \end{pmatrix}}$$

Primero comprobamos si $C$ es invertible calculando su determinante: $$\det(C) = \begin{vnum} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vnum} = (2 \cdot 1) - (0 \cdot (-1)) = 2$$ Como $\det(C) \neq 0$, existe $C^{-1}$. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: - $C_{11} = 1$ - $C_{12} = -(-1) = 1$ - $C_{21} = -(0) = 0$ - $C_{22} = 2$ $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(C)^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ La inversa es: $$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \cdot \text{Adj}(C)^T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $X = C^{-1} \cdot M$: $$X = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 15 \\ 6 & -14 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (\frac{1}{2} \cdot (-1) + 0 \cdot 6) & (\frac{1}{2} \cdot 15 + 0 \cdot (-14)) \\ (\frac{1}{2} \cdot (-1) + 1 \cdot 6) & (\frac{1}{2} \cdot 15 + 1 \cdot (-14)) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -1/2 & 15/2 \\ -1/2 + 6 & 15/2 - 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 15/2 \\ 11/2 & -13/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{15}{2} \\ \frac{11}{2} & -\frac{13}{2} \end{pmatrix}}$$