Optimización del coste de dos cuadrados de tela

**¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser 100 cm? (2,5 puntos)** En primer lugar, definimos las variables que representan los lados de los dos cuadrados: - Sea $x$ el lado del primer cuadrado (en cm), cuya tela cuesta $2\text{ €/cm}^2$. - Sea $y$ el lado del segundo cuadrado (en cm), cuya tela cuesta $3\text{ €/cm}^2$. El enunciado nos da una restricción sobre los perímetros. El perímetro de un cuadrado de lado $L$ es $4L$. Por tanto: $$4x + 4y = 100$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo entre 4: $$x + y = 25 \implies y = 25 - x$$ Como las longitudes deben ser positivas, tenemos la restricción de dominio: $0 \le x \le 25$. 💡 **Tip:** Siempre es útil despejar una variable en función de la otra lo antes posible para reducir el número de variables de la función a optimizar.

Queremos minimizar el coste total. El coste depende del área de cada cuadrado multiplicada por su precio por $\text{cm}^2$. El área de un cuadrado es $L^2$. La función de coste $C(x, y)$ es: $$C(x, y) = 2x^2 + 3y^2$$ Sustituimos $y = 25 - x$ para obtener la función en términos de una sola variable $C(x)$: $$C(x) = 2x^2 + 3(25 - x)^2$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$C(x) = 2x^2 + 3(625 - 50x + x^2)$$ $$C(x) = 2x^2 + 1875 - 150x + 3x^2$$ $$C(x) = 5x^2 - 150x + 1875$$ Esta es la función que debemos minimizar en el intervalo $x \in [0, 25]$.

Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada de la función y la igualamos a cero: $$C'(x) = 10x - 150$$ Resolvemos $C'(x) = 0$: $$10x - 150 = 0 \implies 10x = 150 \implies x = 15$$ Para comprobar si este valor corresponde a un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$C''(x) = 10$$ Como $C''(15) = 10 \gt 0$, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 15$. 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es positiva ($f''(a) > 0$), existe un mínimo en ese punto; si es negativa ($f''(a) < 0$), existe un máximo.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos el valor de $y$ utilizando la relación de los perímetros: $$y = 25 - x = 25 - 15 = 10$$ Por tanto, los lados de los cuadrados deben ser: - Lado del cuadrado de tela de $2\text{ €/cm}^2$: **$15\text{ cm}$** - Lado del cuadrado de tela de $3\text{ €/cm}^2$: **$10\text{ cm}$** El coste mínimo sería $C(15) = 5(15)^2 - 150(15) + 1875 = 1125 - 2250 + 1875 = 750\text{ €}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 15\text{ cm},\; y = 10\text{ cm}}$$