Probabilidad y Estadística 2018 Canarias
Probabilidad de puntualidad en el instituto
4.- El 75% de los alumnos de un instituto acude a clase en algún tipo de transporte y el resto acude andando. Por otra parte, llegan puntual a clase el 60% de los que utilizan transporte y el 90% de los que acuden andando. Se pide:
a) Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya llegado puntual a clase? (1.25 ptos)
b) Si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido andando? (1.25 ptos)
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama en árbol
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales:
- $T$: El alumno acude en transporte.
- $A$: El alumno acude andando.
- $P$: El alumno llega puntual.
- $\bar{P}$: El alumno no llega puntual.
Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades:
- $P(T) = 0,75$
- $P(A) = 1 - 0,75 = 0,25$
- $P(P|T) = 0,60 \implies P(\bar{P}|T) = 0,40$
- $P(P|A) = 0,90 \implies P(\bar{P}|A) = 0,10$
Representamos la información en un **diagrama de árbol**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no llegar puntual
**a) Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya llegado puntual a clase? (1.25 ptos)**
Para calcular la probabilidad de que un alumno no llegue puntual, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el suceso ocurre tanto si viene en transporte como si viene andando.
$$P(\bar{P}) = P(T) \cdot P(\bar{P}|T) + P(A) \cdot P(\bar{P}|A)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(\bar{P}) = 0,75 \cdot 0,40 + 0,25 \cdot 0,10$$
$$P(\bar{P}) = 0,30 + 0,025$$
$$P(\bar{P}) = 0,325$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un evento puede ocurrir a través de varios "caminos" o condiciones excluyentes entre sí.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{P}) = 0,325}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) Si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido andando? (1.25 ptos)**
En este apartado nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que fuera andando ($A$) sabiendo que ha llegado puntual ($P$). Usamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|P) = \frac{P(A \cap P)}{P(P)}$$
Primero, calculamos $P(P)$, que es el suceso contrario a no llegar puntual:
$$P(P) = 1 - P(\bar{P}) = 1 - 0,325 = 0,675$$
Ahora, calculamos la intersección $P(A \cap P)$:
$$P(A \cap P) = P(A) \cdot P(P|A) = 0,25 \cdot 0,90 = 0,225$$
Finalmente, calculamos el cociente:
$$P(A|P) = \frac{0,225}{0,675}$$
Simplificando la fracción:
$$P(A|P) = \frac{225}{675} = \frac{1}{3} \approx 0,3333$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicionalidad: pasamos de conocer $P(P|A)$ a calcular $P(A|P)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|P) = \frac{1}{3} \approx 0,3333}$$