Intersección de planos y plano perpendicular

**a) Comprobar que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ se cortan en una recta. Hallar la ecuación de dicha recta en forma paramétrica. (1,75 ptos)** Primero, identificamos el vector normal del plano $\pi_1$, que se extrae directamente de los coeficientes de su ecuación implícita $x+y+z-5=0$: $$\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$$ Para el plano $\pi_2$, disponemos de sus ecuaciones paramétricas. Los coeficientes de los parámetros $\lambda$ y $\mu$ nos dan dos vectores directores del plano: $$\vec{u}_2 = (1, -1, 0) \quad \text{y} \quad \vec{v}_2 = (2, -1, 1)$$ El vector normal $\vec{n}_2$ se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n}_2 = \vec{u}_2 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_2 = [(-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-1)]\mathbf{i} - [1 \cdot 1 - 0 \cdot 2]\mathbf{j} + [1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2]\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_2 = -1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $(A, B, C)$.

Dos planos se cortan en una recta si sus vectores normales no son proporcionales (es decir, no son paralelos). Comprobamos la proporcionalidad entre $\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (-1, -1, 1)$: $$\frac{1}{-1} = \frac{1}{-1} \neq \frac{1}{1}$$ Como las componentes no guardan la misma relación, los vectores **no son proporcionales**. Por tanto, los planos no son paralelos ni coincidentes, lo que implica que **se cortan en una recta $r$**. 💡 **Tip:** Si los vectores normales fueran proporcionales, los planos serían paralelos (si no comparten puntos) o coincidentes (si comparten todos los puntos).

El vector director $\vec{d}_r$ de la recta de intersección es perpendicular a ambos vectores normales, por lo que se calcula mediante su producto vectorial: $$\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante: $$\vec{d}_r = [1 - (-1)]\mathbf{i} - [1 - (-1)]\mathbf{j} + [-1 - (-1)]\mathbf{k}$$ $$\vec{d}_r = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (2, -2, 0)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2 para trabajar con valores más sencillos: $$\vec{d}_r = (1, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al producto vectorial sirve como vector director de la recta.

Para definir la recta necesitamos un punto $P$ que pertenezca a ambos planos. En las paramétricas de $\pi_2$, si hacemos $\lambda = 0$ y $\mu = 0$, obtenemos el punto: $$P(3, 1, 1)$$ Comprobamos si este punto pertenece también a $\pi_1$ sustituyendo en su ecuación: $$3 + 1 + 1 - 5 = 0 \implies 0 = 0$$ Como el punto cumple la ecuación de $\pi_1$, es un punto de la recta $r$. Con el punto $P(3, 1, 1)$ y el vector $\vec{d}_r = (1, -1, 0)$, escribimos la **ecuación paramétrica**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 3 + k \\ y = 1 - k \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{con } k \in \mathbb{R}}$$

**b) Hallar la ecuación del plano $\pi_3$ que pasa por el origen y es perpendicular a los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ (0.75 ptos)** Si el plano $\pi_3$ es perpendicular a $\pi_1$ y $\pi_2$, su vector normal $\vec{n}_3$ debe ser perpendicular a $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$ simultáneamente. Esto significa que $\vec{n}_3$ tiene la misma dirección que el vector director de la recta de intersección calculada anteriormente: $$\vec{n}_3 = \vec{d}_r = (1, -1, 0)$$ El plano pasa por el origen $O(0, 0, 0)$. La ecuación general del plano es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ Sustituyendo el vector $(1, -1, 0)$ y el punto $(0, 0, 0)$: $$1(x - 0) - 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0$$ $$x - y = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_3 \equiv x - y = 0}$$