Invertibilidad de una matriz con parámetro y cálculo de la matriz inversa

**a) Calcular los valores del parámetro $m$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa. (1 ptos)** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $m$. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz se llama singular.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 2 \\ m-2 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (m+1) \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot (m-2) + (-1) \cdot 0 \cdot 0] - [(m-2) \cdot (m+1) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \cdot 0]$$ Simplificamos los términos: $$|A| = [0 + 0 + 0] - [-(m-2)(m+1)]$$ $$|A| = (m-2)(m+1)$$ Desarrollando el producto (opcional, pero útil): $$|A| = m^2 + m - 2m - 2 = m^2 - m - 2$$ $$\boxed{|A| = (m-2)(m+1)}$$

Para hallar cuándo la matriz no tiene inversa, igualamos el determinante a cero: $$(m-2)(m+1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones directas: 1. $m - 2 = 0 \implies m = 2$ 2. $m + 1 = 0 \implies m = -1$ Para estos valores específicos, el determinante es cero y la matriz **no** tiene inversa.

La matriz $A$ tendrá inversa para todos aquellos valores de $m$ que no anulen el determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \text{ para todo } m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}}$$

**b) Para $m = 1$, calcular la matriz inversa $A^{-1}$ (1,5 ptos)** Primero, sustituimos $m=1$ en la matriz $A$ y calculamos su determinante. Según el apartado anterior, como $m=1$ no es ni $-1$ ni $2$, la matriz debe tener inversa. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1+1 & 2 \\ 1-2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante sustituyendo en la expresión $|A| = (m-2)(m+1)$: $$|A| = (1-2)(1+1) = (-1)(2) = -2$$ 💡 **Tip:** El determinante es fundamental; si te equivocas aquí, toda la matriz inversa será incorrecta. ¡Revisa los signos!

Calculamos la matriz de los adjuntos, $\text{Adj}(A)$, calculando el menor complementario de cada elemento y aplicando el signo correspondiente $(-1)^{i+j}$: $$\begin{aligned} A_{11} &= +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 & A_{12} &= -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -2 & A_{13} &= +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \\ A_{21} &= -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 & A_{22} &= +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1 & A_{23} &= -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ A_{31} &= +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 & A_{32} &= -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 & A_{33} &= +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \end{aligned}$$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$

La fórmula de la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$$ Primero trasponemos la matriz adjunta: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -2 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora dividimos por el determinante $|A| = -2$: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -2 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1/2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0.5 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$