Asíntotas y extremos relativos de una función racional

Para estudiar las asíntotas, lo primero es determinar el dominio de la función $f(x) = 3x + \dfrac{3x}{x-1}$. El denominador se anula en $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Por tanto: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$ **Asíntotas Verticales (A.V.):** Comprobamos el límite cuando $x \to 1$: $$\lim_{x \to 1} \left( 3x + \frac{3x}{x-1} \right) = 3(1) + \frac{3(1)}{0} = \infty$$ Calculamos los límites laterales para conocer el comportamiento: - $\lim_{x \to 1^-} \left( 3x + \dfrac{3x}{x-1} \right) = 3 + \dfrac{3}{0^-} = -\infty$ - $\lim_{x \to 1^+} \left( 3x + \dfrac{3x}{x-1} \right) = 3 + \dfrac{3}{0^+} = +\infty$ 💡 **Tip:** Una asíntota vertical aparece en los puntos donde la función no está definida y el límite es infinito. ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{x = 1}$$

**Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \left( 3x + \frac{3x}{x-1} \right) = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Buscamos una recta de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left( 3 + \frac{3}{x-1} \right) = 3 + 0 = 3$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( 3x + \frac{3x}{x-1} - 3x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x-1} = 3$$ 💡 **Tip:** Si existe asíntota oblicua, no puede existir asíntota horizontal en el mismo sentido (y viceversa). ✅ **Resultado (A.O.):** $$\boxed{y = 3x + 3}$$

Para hallar los extremos relativos, calculamos la derivada $f'(x)$. La función es $f(x) = 3x + \dfrac{3x}{x-1}$. Derivamos término a término: $$f'(x) = 3 + \frac{3(x-1) - 3x(1)}{(x-1)^2} = 3 + \frac{3x - 3 - 3x}{(x-1)^2} = 3 - \frac{3}{(x-1)^2}$$ Para operar mejor, unificamos la expresión: $$f'(x) = \frac{3(x-1)^2 - 3}{(x-1)^2} = \frac{3(x^2 - 2x + 1) - 3}{(x-1)^2} = \frac{3x^2 - 6x + 3 - 3}{(x-1)^2} = \frac{3x^2 - 6x}{(x-1)^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = 0$ - $x_2 = 2$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos solo pueden ocurrir en puntos donde la derivada es cero o no existe (siempre que estén en el dominio).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad ($x=1$): Como el denominador $(x-1)^2$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $3x(x-2)$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos: - Para $x=0: f(0) = 3(0) + \frac{3(0)}{0-1} = 0$. Punto $\mathbf{(0, 0)}$. - Para $x=2: f(2) = 3(2) + \frac{3(2)}{2-1} = 6 + 6 = 12$. Punto $\mathbf{(2, 12)}$. ✅ **Resultado (Extremos relativos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 0) \text{ y Mínimo relativo en } (2, 12)}$$