Distribución binomial de fallos en tuberías

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que, de 20 fallos en una planta química, exactamente 5 se deban a errores del operador? (1.25 ptos)** Primero, definimos la variable aleatoria $X$: $X$: número de fallos ocasionados por errores del operador en una muestra de 20. Se trata de una **distribución Binomial**, ya que tenemos un número fijo de ensayos ($n=20$), cada fallo es independiente de los demás, y la probabilidad de "éxito" (que sea error del operador) es constante ($p=0,30$). Por tanto: $X \sim B(20;\, 0,3)$. La fórmula de la probabilidad para una binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Donde $q = 1 - p = 0,70$. Para $k=5$: $$P(X=5) = \binom{20}{5} \cdot 0,3^5 \cdot 0,7^{20-5}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{20}{5} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504$$ Sustituimos y resolvemos: $$P(X=5) = 15504 \cdot 0,3^5 \cdot 0,7^{15} \approx 15504 \cdot 0,00243 \cdot 0,00474756$$ $$P(X=5) \approx 0,17886$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{k}$ representa las distintas formas de elegir $k$ elementos de un total de $n$ sin importar el orden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=5) = 0,1789}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 o más fallos de 20 encontrados en una planta química, se deban a errores del operador? (1.25 ptos)** Nos piden calcular $P(X \ge 2)$. Esto equivale a sumar las probabilidades desde $k=2$ hasta $k=20$. Es mucho más eficiente utilizar el **suceso contrario**: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X \lt 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Calculamos cada una por separado: 1. Para $k=0$: $$P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,3^0 \cdot 0,7^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0,7^{20} \approx 0,0007979$$ 2. Para $k=1$: $$P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,3^1 \cdot 0,7^{19} = 20 \cdot 0,3 \cdot 0,7^{19} \approx 0,0068391$$ Sumamos las probabilidades de los eventos no deseados: $$P(X \lt 2) = 0,0007979 + 0,0068391 = 0,007637$$ Finalmente, restamos de la unidad: $$P(X \ge 2) = 1 - 0,007637 = 0,992363$$ 💡 **Tip:** Cuando te pidan probabilidades del tipo "al menos..." o "$k$ o más...", siempre comprueba si es más rápido calcular el suceso complementario para ahorrar tiempo en el examen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0,9924}$$