Ecuación de plano y recta en el espacio

**a) Halle la ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A(-1,5,0)$ y $B(0,1,1)$ y es paralelo a la recta $r \equiv \begin{cases} 3x+2y-3=0 \\ 2y-3z-1=0 \end{cases}$ (1,5 ptos)** Para determinar la ecuación del plano $\pi$, necesitamos un punto y dos vectores directores. Dado que el plano es paralelo a la recta $r$, uno de sus vectores directores será el vector director de dicha recta, $\vec{v}_r$. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Sus vectores normales son $\vec{n}_1 = (3, 2, 0)$ y $\vec{n}_2 = (0, 2, -3)$. El vector director de la recta se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = [2 \cdot (-3)]\mathbf{i} - [3 \cdot (-3)]\mathbf{j} + [3 \cdot 2]\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = -6\mathbf{i} + 9\mathbf{j} + 6\mathbf{k} = (-6, 9, 6)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $3$ para facilitar los cálculos: $$\vec{v}_r = (-2, 3, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Para definir el plano $\pi$, utilizaremos: 1. El punto $A(-1, 5, 0)$. 2. El vector director de la recta $r$: $\vec{u} = \vec{v}_r = (-2, 3, 2)$. 3. El vector que une los puntos $A$ y $B$: $\vec{v} = \vec{AB}$. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (0 - (-1), 1 - 5, 1 - 0) = (1, -4, 1)$$ Ahora tenemos el punto $A(-1, 5, 0)$ y los vectores directores $\vec{u} = (-2, 3, 2)$ y $\vec{v} = (1, -4, 1)$. Como estos vectores no son proporcionales ($\frac{-2}{1} \neq \frac{3}{-4}$), definen un plano. $$\boxed{A(-1, 5, 0), \quad \vec{u}=(-2, 3, 2), \quad \vec{v}=(1, -4, 1)}$$

La ecuación del plano se obtiene resolviendo el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos anteriores: $$\begin{vmatrix} x - (-1) & y - 5 & z - 0 \\ -2 & 3 & 2 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x+1) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - (y-5) \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x+1)(3 - (-8)) - (y-5)(-2 - 2) + z(8 - 3) = 0$$ $$11(x+1) - (y-5)(-4) + 5z = 0$$ $$11x + 11 + 4y - 20 + 5z = 0$$ $$11x + 4y + 5z - 9 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi \equiv 11x + 4y + 5z - 9 = 0}$$

**b) Escribir la ecuación de una recta paralela a la recta $r$ y que pasa por el punto medio del segmento $\overline{AB}$ (1 pto)** Primero, calculamos las coordenadas del punto medio $M$ del segmento $\overline{AB}$. La fórmula para el punto medio es: $$M = \frac{A + B}{2}$$ Sustituimos las coordenadas de $A(-1, 5, 0)$ y $B(0, 1, 1)$: $$M = \left( \frac{-1 + 0}{2}, \frac{5 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2} \right)$$ 💡 **Tip:** El punto medio es la media aritmética de las coordenadas de los extremos del segmento. $$\boxed{M\left( -\frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2} \right)}$$

Buscamos una recta $s$ tal que $s \parallel r$ y $M \in s$. Al ser paralelas, ambas comparten el mismo vector director. Tomamos $\vec{v}_s = \vec{v}_r = (-2, 3, 2)$ y el punto $M\left( -\frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2} \right)$. Podemos expresar la recta en su forma continua: $$s \equiv \frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$s \equiv \frac{x - (-1/2)}{-2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 1/2}{2}$$ O de forma simplificada: $$s \equiv \frac{x + 1/2}{-2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 1/2}{2}$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = -1/2 - 2\lambda \\ y = 3 + 3\lambda \\ z = 1/2 + 2\lambda \end{cases} \quad \text{(Ecuación paramétrica)}}$$