Sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discutir el sistema según los valores del parámetro $k$ (1,25 ptos)** En primer lugar, escribimos la matriz de los coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & k & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & k & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 4) + (k\cdot 1\cdot 1) + (1\cdot 2\cdot k) - (1\cdot 1\cdot k) - (1\cdot k\cdot 4) - (2\cdot 1\cdot 1)$$ $$|A| = 4 + k + 2k - k - 4k - 2 = 2 - 2k$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$2 - 2k = 0 \implies 2k = 2 \implies k = 1$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica para qué valores el sistema tiene solución única (si $|A| \neq 0$).

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para analizar los casos según el valor de $k$: **Caso 1: $k \neq 1$** Si $k \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz $A$ es 3. Como el número de incógnitas también es 3, el rango de la ampliada $A^*$ debe ser obligatoriamente 3. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k \neq 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD), tiene solución única.}}$$ **Caso 2: $k = 1$** Si $k = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Veamos la matriz $A$ para este valor: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Como las dos primeras filas son iguales, el rango no es 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Analizamos ahora la matriz ampliada $A^*$ para $k=1$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la segunda fila son idénticas ($1x+1y+1z=1$), por lo que no aportan información distinta. El rango de $A^*$ también es 2. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3 = \text{nº de incógnitas}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI), tiene infinitas soluciones.}}$$

**b) Resolver el sistema para $k = 1$ (1,25 ptos)** Para $k = 1$, hemos visto que el sistema es Compatible Indeterminado. Las dos primeras ecuaciones son idénticas, por lo que podemos prescindir de una de ellas. El sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 2 \end{cases}$$ Para resolverlo, utilizaremos un parámetro para una de las variables. Sea $z = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$. $$1) \quad x + y = 1 - \lambda$$ $$2) \quad x + 2y = 2 - 4\lambda$$ Restamos la ecuación (1) a la ecuación (2): $$(x + 2y) - (x + y) = (2 - 4\lambda) - (1 - \lambda)$$ $$y = 1 - 3\lambda$$ Sustituimos el valor de $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x + (1 - 3\lambda) = 1 - \lambda$$ $$x = 1 - \lambda - 1 + 3\lambda$$ $$x = 2\lambda$$ 💡 **Tip:** En un sistema compatible indeterminado con $\text{rg}=2$ y 3 incógnitas, las soluciones siempre dependen de un parámetro libre ($3-2=1$ grado de libertad). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 1 - 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$