Optimización: Suma de áreas de tres cuadrados

Llamamos $x, y, z$ a las longitudes de los tres trozos del hilo metálico en metros. Según el enunciado: 1. La suma de las longitudes es el total del hilo: $x + y + z = 140$. 2. Un trozo es el doble de otro: $y = 2x$. Sustituimos la segunda condición en la primera para expresar $z$ en función de $x$: $$x + 2x + z = 140 \implies 3x + z = 140 \implies z = 140 - 3x.$$ Como las longitudes deben ser positivas, establecemos el dominio de $x$: - $x \gt 0$ - $z \gt 0 \implies 140 - 3x \gt 0 \implies x \lt \frac{140}{3} \approx 46.67$. Por tanto, el intervalo de estudio es $x \in (0, 140/3)$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización con geometría, es fundamental definir el dominio de la variable para asegurar que las dimensiones tengan sentido físico.

Cada trozo de longitud $L$ se usa para formar el perímetro de un cuadrado. Si el perímetro es $P$, el lado es $l = P/4$ y el área es $A = (P/4)^2 = P^2/16$. Calculamos el área de cada uno de los tres cuadrados: - Área del cuadrado 1 (perímetro $x$): $A_1 = \dfrac{x^2}{16}$ - Área del cuadrado 2 (perímetro $y = 2x$): $A_2 = \dfrac{(2x)^2}{16} = \dfrac{4x^2}{16} = \dfrac{x^2}{4}$ - Área del cuadrado 3 (perímetro $z = 140 - 3x$): $A_3 = \dfrac{(140 - 3x)^2}{16}$ La función suma de áreas $S(x)$ es: $$S(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{4x^2}{16} + \frac{(140 - 3x)^2}{16}$$ Simplificamos la expresión: $$S(x) = \frac{5x^2 + (19600 - 840x + 9x^2)}{16} = \frac{14x^2 - 840x + 19600}{16}$$ $$S(x) = \frac{7x^2 - 420x + 9800}{8}$$ $$\boxed{S(x) = \frac{7x^2 - 420x + 9800}{8}}$$

Para encontrar el mínimo, derivamos la función $S(x)$ e igualamos a cero: $$S'(x) = \frac{1}{8}(14x - 420)$$ $$S'(x) = 0 \implies 14x - 420 = 0 \implies 14x = 420 \implies x = \frac{420}{14} = 30.$$ Comprobamos si es un mínimo utilizando la segunda derivada: $$S''(x) = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}.$$ Como $S''(30) = \frac{7}{4} \gt 0$, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 30$. 💡 **Tip:** El criterio de la segunda derivada es el método más rápido cuando la función es un polinomio de segundo grado, ya que la curvatura es constante.

Una vez hallado el valor de $x$ que minimiza el área, calculamos las longitudes de los tres trozos: - Primer trozo: $x = \mathbf{30 \text{ m}}$ - Segundo trozo: $y = 2x = 2(30) = \mathbf{60 \text{ m}}$ - Tercer trozo: $z = 140 - 3x = 140 - 3(30) = 140 - 90 = \mathbf{50 \text{ m}}$ Comprobamos que la suma total es correcta: $30 + 60 + 50 = 140$ m. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Los trozos miden } 30 \text{ m, } 60 \text{ m y } 50 \text{ m}}$$