Probabilidad y Estadística 2018 Castilla-La Mancha
Probabilidad y Distribución Normal en el Llenado de Vasos
5B. a) En una clase el $80 \%$ aprueba la asignatura de Biología, el $70 \ %$ aprueba la asignatura de Matemáticas y el $60 \ %$ aprueba Biología y Matemáticas.
a1) Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe alguna de las asignaturas? (0,75 puntos)
a2) Si se elige un estudiante y ha aprobado Biología, ¿cuál es la probabilidad de que también haya aprobado Matemáticas? (0,5 puntos)
b) Un dispensador de cierto refresco está regulado de manera que cada vez descargue $25$ cl de media. Si la cantidad de líquido dispensado sigue una distribución normal de varianza $4$:
b1) Calcula razonadamente la probabilidad de que descargue entre $22$ y $28$ cl. (0,75 puntos)
b2) Calcula razonadamente la capacidad mínima de los vasos que se usen, redondeada a cl, para que la probabilidad de que se derrame el líquido sea inferior al $2,5 \ %$. (0,5 puntos)
Paso 1
Definición de sucesos y tabla de contingencia
**a1) Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe alguna de las asignaturas? (0,75 puntos)**
Primero definimos los sucesos según el enunciado:
- $B$: El estudiante aprueba Biología.
- $M$: El estudiante aprueba Matemáticas.
Datos conocidos:
- $P(B) = 0,80$
- $P(M) = 0,70$
- $P(B \cap M) = 0,60$
Podemos organizar estos datos en una tabla de contingencia para mayor claridad:
$$\begin{array}{c|cc|c}
& M & \overline{M} & \text{Total} \\ \hline
B & 0,60 & 0,20 & 0,80 \\
\overline{B} & 0,10 & 0,10 & 0,20 \\ \hline
\text{Total} & 0,70 & 0,30 & 1,00
\end{array}$$
💡 **Tip:** En problemas con intersecciones conocidas, una tabla de contingencia permite visualizar rápidamente los sucesos complementarios.
Paso 2
Probabilidad de aprobar alguna asignatura
La pregunta "aprobar alguna de las asignaturas" se refiere a la unión de los sucesos, es decir, $P(B \cup M)$.
Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión:
$$P(B \cup M) = P(B) + P(M) - P(B \cap M)$$
Sustituimos los valores:
$$P(B \cup M) = 0,80 + 0,70 - 0,60 = 0,90$$
✅ **Resultado (a1):**
$$\boxed{P(B \cup M) = 0,90}$$
Esto significa que el $90 \ %$ de los estudiantes aprueba al menos una de las dos materias.
Paso 3
Probabilidad condicionada
**a2) Si se elige un estudiante y ha aprobado Biología, ¿cuál es la probabilidad de que también haya aprobado Matemáticas? (0,5 puntos)**
Se nos pide la probabilidad de aprobar Matemáticas sabiendo que ya ha aprobado Biología, es decir, la probabilidad condicionada $P(M|B)$.
Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada:
$$P(M|B) = \frac{P(M \cap B)}{P(B)}$$
Sustituimos los datos:
$$P(M|B) = \frac{0,60}{0,80} = \frac{6}{8} = 0,75$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ mide la probabilidad de $A$ restringiendo el espacio muestral a los casos donde ocurre $B$.
✅ **Resultado (a2):**
$$\boxed{P(M|B) = 0,75}$$
Paso 4
Distribución normal y tipificación
**b1) Calcula razonadamente la probabilidad de que descargue entre $22$ y $28$ cl. (0,75 puntos)**
Sea $X$ la variable aleatoria que mide la cantidad de líquido dispensado en cl. El enunciado indica que:
- $X$ sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
- Media $\mu = 25$ cl
- Varianza $\sigma^2 = 4$, por lo que la desviación típica es $\sigma = \sqrt{4} = 2$ cl.
Queremos calcular $P(22 \le X \le 28)$. Para ello tipificamos la variable usando $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P(22 \le X \le 28) = P\left(\frac{22 - 25}{2} \le Z \le \frac{28 - 25}{2}\right)$$
$$P(22 \le X \le 28) = P(-1,5 \le Z \le 1,5)$$
💡 **Tip:** La tipificación permite transformar cualquier normal en la normal estándar $N(0,1)$ para usar las tablas.
Paso 5
Cálculo de la probabilidad con tablas
Operamos con las propiedades de la normal estándar:
$$P(-1,5 \le Z \le 1,5) = p(Z \le 1,5) - p(Z \le -1,5)$$
Por simetría:
$$p(Z \le -1,5) = 1 - p(Z \le 1,5)$$
Entonces:
$$P(-1,5 \le Z \le 1,5) = p(Z \le 1,5) - (1 - p(Z \le 1,5)) = 2 \cdot p(Z \le 1,5) - 1$$
Consultamos el valor en la tabla $N(0,1)$ para $z = 1,5$:
$$p(Z \le 1,5) = 0,9332$$
Sustituimos:
$$2 \cdot 0,9332 - 1 = 1,8664 - 1 = 0,8664$$
✅ **Resultado (b1):**
$$\boxed{P(22 \le X \le 28) = 0,8664}$$
Paso 6
Cálculo de la capacidad mínima del vaso
**b2) Calcula razonadamente la capacidad mínima de los vasos que se usen, redondeada a cl, para que la probabilidad de que se derrame el líquido sea inferior al $2,5 \ %$. (0,5 puntos)**
Sea $C$ la capacidad del vaso. El líquido se derrama si $X \gt C$. Queremos que:
$$P(X \gt C) \lt 0,025$$
Tipificamos la expresión:
$$P\left(\frac{X - 25}{2} \gt \frac{C - 25}{2}\right) \lt 0,025$$
$$p(Z \gt z_0) \lt 0,025$$
donde $z_0 = \dfrac{C - 25}{2}$. Esto es equivalente a:
$$1 - p(Z \le z_0) \lt 0,025 \implies p(Z \le z_0) \gt 0,975$$
Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de $z$ que deja a su izquierda una probabilidad de $0,975$. Este valor es $z = 1,96$.
Paso 7
Despeje del valor de la capacidad
Igualamos el valor crítico obtenido con nuestra expresión tipificada:
$$\frac{C - 25}{2} = 1,96$$
Despejamos $C$:
$$C - 25 = 1,96 \cdot 2 = 3,92$$
$$C = 25 + 3,92 = 28,92 \text{ cl}$$
El enunciado pide la capacidad mínima redondeada a cl para cumplir la condición (que sea inferior al $2,5 \ %$). Como $28,92$ es la capacidad límite exacta para un $2,5 \ %$, debemos elegir un valor entero que asegure una probabilidad aún menor.
Redondeando al cl superior más cercano:
$$C \approx 29 \text{ cl}$$
✅ **Resultado (b2):**
$$\boxed{\text{Capacidad mínima: } 29 \text{ cl}}$$