Geometría en el espacio: Triángulo isósceles y perpendicular común

**a) Calcula razonadamente un punto $C$ de la recta $r$ que forme con $A$ y $B$ un triángulo isósceles con el lado desigual en $AB$. (1,5 puntos)** Si el triángulo $ABC$ es isósceles y el lado desigual es $AB$, esto implica que los otros dos lados deben ser iguales, es decir, la distancia de $A$ a $C$ debe ser igual a la distancia de $B$ a $C$: $$d(A, C) = d(B, C)$$ Cualquier punto $C$ que pertenezca a la recta $r$ tendrá la forma de sus ecuaciones paramétricas para algún valor de $\lambda$: $$C(1 - \lambda, \lambda, 3 + \lambda)$$ 💡 **Tip:** Un triángulo es isósceles si tiene al menos dos lados iguales. Si el lado desigual es $AB$, entonces obligatoriamente $AC = BC$.

Calculamos los vectores $\vec{AC}$ y $\vec{BC}$ en función de $\lambda$: $$\vec{AC} = C - A = (1 - \lambda - (-1), \lambda - 2, 3 + \lambda - 0) = (2 - \lambda, \lambda - 2, 3 + \lambda)$$ $$\vec{BC} = C - B = (1 - \lambda - 1, \lambda - 0, 3 + \lambda - (-4)) = (-\lambda, \lambda, 7 + \lambda)$$ Para que $d(A, C) = d(B, C)$, igualamos los cuadrados de sus módulos para eliminar las raíces: $$|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2$$ $$(2 - \lambda)^2 + (\lambda - 2)^2 + (3 + \lambda)^2 = (-\lambda)^2 + (\lambda)^2 + (7 + \lambda)^2$$ Desarrollamos las identidades notables: $$(4 - 4\lambda + \lambda^2) + (\lambda^2 - 4\lambda + 4) + (9 + 6\lambda + \lambda^2) = \lambda^2 + \lambda^2 + (49 + 14\lambda + \lambda^2)$$ Agrupamos términos en ambos lados: $$3\lambda^2 - 2\lambda + 17 = 3\lambda^2 + 14\lambda + 49$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ y $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Simplificamos la ecuación eliminando los términos $3\lambda^2$ y despejamos $\lambda$: $$-2\lambda - 14\lambda = 49 - 17$$ $$-16\lambda = 32$$ $$\lambda = \frac{32}{-16} = -2$$ Sustituimos el valor $\lambda = -2$ en las coordenadas genéricas del punto $C$: $$C(1 - (-2), -2, 3 + (-2)) = C(3, -2, 1)$$ ✅ **Resultado del punto C:** $$\boxed{C(3, -2, 1)}$$

**b) Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a la recta $r$ y al vector $\vec{AB}$ y que pase por el punto $A$. (1 punto)** Primero, identificamos el vector director de la recta $r$, que llamaremos $\vec{d_r}$: De $r \equiv \{x = 1 - \lambda, y = \lambda, z = 3 + \lambda\}$, obtenemos $\vec{d_r} = (-1, 1, 1)$. Calculamos ahora el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - (-1), 0 - 2, -4 - 0) = (2, -2, -4)$$ La recta que buscamos, llamémosla $s$, debe ser perpendicular a $\vec{d_r}$ y a $\vec{AB}$. Por tanto, su vector director $\vec{d_s}$ será el producto vectorial de ambos. 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un nuevo vector que es perpendicular a ambos simultáneamente.

Calculamos $\vec{d_s} = \vec{d_r} \times \vec{AB}$ mediante el determinante: $$\vec{d_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -4 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{d_s} = \vec{i} \cdot [1(-4) - 1(-2)] - \vec{j} \cdot [(-1)(-4) - 1(2)] + \vec{k} \cdot [(-1)(-2) - 1(2)]$$ $$\vec{d_s} = \vec{i}(-4 + 2) - \vec{j}(4 - 2) + \vec{k}(2 - 2)$$ $$\vec{d_s} = -2\vec{i} - 2\vec{j} + 0\vec{k} = (-2, -2, 0)$$ Para simplificar las ecuaciones, podemos usar un vector proporcional más sencillo: $$\vec{v} = (1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector paralelo al calculado sirve como vector director de la recta.

La recta $s$ pasa por el punto $A(-1, 2, 0)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (1, 1, 0)$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$s \equiv \begin{cases} x = -1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases} t \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado de la recta s:** $$\boxed{\begin{cases} x = -1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases}}$$