Potencias de matrices y conmutatividad

**a) Halla razonadamente dos parámetros $a$ y $b$ tales que $A^2 = aA + bI$. (1,25 puntos)** En primer lugar, calculamos $A^2$ realizando el producto de la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} (1)(1) + (-3)(0) & (1)(-3) + (-3)(1) \\ (0)(1) + (1)(0) & (0)(-3) + (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda.

Planteamos la igualdad matricial $A^2 = aA + bI$: $$\begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Operamos en el miembro de la derecha: $$\begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -3a \\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & -3a \\ 0 & a+b \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, deben serlo todos sus elementos correspondientes. Obtenemos el sistema: 1. $1 = a + b$ 2. $-6 = -3a$ 3. $0 = 0$ (trivial) 4. $1 = a + b$ (repetida) De la ecuación (2), despejamos $a$: $$a = \frac{-6}{-3} = 2$$ Sustituimos $a = 2$ en la ecuación (1): $$1 = 2 + b \implies b = 1 - 2 = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, \quad b = -1}$$

**b) Calcula razonadamente todas las matrices $X$ que verifican que $(A - X)(A + X) = A^2 - X^2$. (1,25 puntos)** Desarrollamos el producto del miembro izquierdo de la ecuación, teniendo mucho cuidado con el orden, ya que el producto de matrices **no es necesariamente conmutativo** ($AX \neq XA$ en general): $$(A - X)(A + X) = A \cdot A + A \cdot X - X \cdot A - X \cdot X = A^2 + AX - XA - X^2$$ Sustituimos este desarrollo en la ecuación original: $$A^2 + AX - XA - X^2 = A^2 - X^2$$ Restamos $A^2$ y sumamos $X^2$ en ambos lados para simplificar: $$AX - XA = 0 \implies AX = XA$$ Por lo tanto, el problema consiste en hallar todas las matrices $X$ que **conmutan** con la matriz $A$. 💡 **Tip:** En identidades notables matriciales, $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ solo si $AB = BA$.

Sea una matriz genérica $X$ de dimensión $2 \times 2$: $$X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$$ Calculamos los productos $AX$ y $XA$: $$AX = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-3z & y-3w \\ z & w \end{pmatrix}$$ $$XA = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & -3x+y \\ z & -3z+w \end{pmatrix}$$ Igualamos $AX = XA$ componente a componente: 1. $x - 3z = x \implies -3z = 0 \implies z = 0$ 2. $y - 3w = -3x + y \implies -3w = -3x \implies w = x$ 3. $z = z$ (siempre se cumple) 4. $w = -3z + w \implies -3z = 0 \implies z = 0$ Las condiciones para que se cumpla la igualdad son **$z = 0$** y **$w = x$**, mientras que $x$ e $y$ pueden tomar cualquier valor real.

Sustituimos las condiciones obtenidas ($z = 0$ y $w = x$) en la forma general de la matriz $X$: $$X = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x \end{pmatrix}$$ Donde $x, y \in \mathbb{R}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x \end{pmatrix} \text{ para cualesquiera } x, y \in \mathbb{R}}$$