Cálculo de integrales: racional e integración por partes

**a) $\int \frac{2x^3 - x^2 + 2}{x^2 - x} dx$ (1,25 puntos por integral)** Observamos que el grado del numerador ($3$) es mayor que el del denominador ($2$), por lo que realizamos la división polinómica para simplificar la fracción. Dividimos $2x^3 - x^2 + 2$ entre $x^2 - x$: 1. Dividimos el término de mayor grado: $2x^3 / x^2 = 2x$. 2. Multiplicamos $2x(x^2 - x) = 2x^3 - 2x^2$ y restamos: $(2x^3 - x^2 + 2) - (2x^3 - 2x^2) = x^2 + 2$. 3. Dividimos de nuevo: $x^2 / x^2 = 1$. 4. Multiplicamos $1(x^2 - x) = x^2 - x$ y restamos: $(x^2 + 2) - (x^2 - x) = x + 2$. Obtenemos como cociente $Q(x) = 2x + 1$ y como resto $R(x) = x + 2$. Por tanto: $$\frac{2x^3 - x^2 + 2}{x^2 - x} = 2x + 1 + \frac{x + 2}{x^2 - x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar una función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $\text{grado}(P) \ge \text{grado}(Q)$, el primer paso es siempre realizar la división: $\frac{P}{Q} = C + \frac{R}{Q}$.

Para integrar la parte racional restante, descomponemos el denominador en factores: $$x^2 - x = x(x - 1)$$ Planteamos la descomposición en fracciones simples: $$\frac{x + 2}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores: $$x + 2 = A(x - 1) + Bx$$ - Si $x = 0 \implies 2 = A(-1) \implies \mathbf{A = -2}$ - Si $x = 1 \implies 3 = B(1) \implies \mathbf{B = 3}$ Sustituimos los valores en la integral: $$\frac{x + 2}{x^2 - x} = \frac{-2}{x} + \frac{3}{x - 1}$$ 💡 **Tip:** Al descomponer en factores reales simples, cada factor $(ax+b)$ genera una fracción del tipo $\frac{A}{ax+b}$.

Sustituimos la expresión completa en la integral original y resolvemos paso a paso: $$\int \left( 2x + 1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x - 1} \right) dx = \int 2x \, dx + \int 1 \, dx - 2 \int \frac{1}{x} \, dx + 3 \int \frac{1}{x - 1} \, dx$$ Calculamos cada primitiva: - $\int 2x \, dx = x^2$ - $\int 1 \, dx = x$ - $-2 \int \frac{1}{x} \, dx = -2 \ln|x|$ - $3 \int \frac{1}{x - 1} \, dx = 3 \ln|x - 1|$ Sumamos la constante de integración $C$: ✅ **Resultado final (a):** $$\boxed{\int \frac{2x^3 - x^2 + 2}{x^2 - x} dx = x^2 + x - 2 \ln|x| + 3 \ln|x - 1| + C}$$

**b) $\int_{1}^{2} (2x - 3)e^{x-1} dx$ (1,25 puntos por integral)** Para calcular esta integral definida, primero hallaremos la integral indefinida (la primitiva) mediante el método de integración por partes. Elegimos las partes según la regla **ALPES**: - $u = 2x - 3 \implies du = 2 \, dx$ - $dv = e^{x-1} \, dx \implies v = \int e^{x-1} \, dx = e^{x-1}$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int (2x - 3)e^{x-1} \, dx = (2x - 3)e^{x-1} - \int 2e^{x-1} \, dx$$ $$\int (2x - 3)e^{x-1} \, dx = (2x - 3)e^{x-1} - 2e^{x-1}$$ Simplificamos sacando factor común $e^{x-1}$: $$(2x - 3 - 2)e^{x-1} = (2x - 5)e^{x-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de integración por partes: "Un Día Vi Un Valiente soldadito Vestido De Uniforme" ($uv - \int v \, du$).

Una vez obtenida la primitiva $F(x) = (2x - 5)e^{x-1}$, aplicamos la regla de Barrow entre los límites $1$ y $2$: $$\int_{1}^{2} (2x - 3)e^{x-1} \, dx = \left[ (2x - 5)e^{x-1} \right]_{1}^{2}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x = 2$): $$(2(2) - 5)e^{2-1} = (4 - 5)e^1 = -1 \cdot e = -e$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x = 1$): $$(2(1) - 5)e^{1-1} = (2 - 5)e^0 = -3 \cdot 1 = -3$$ Restamos ambos valores: $$-e - (-3) = 3 - e$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{\int_{1}^{2} (2x - 3)e^{x-1} dx = 3 - e}$$ Podemos ver la representación gráfica del área bajo la curva en el siguiente interactivo: