Optimización y recta normal en una parábola

**a) Determina razonadamente el punto $(x, y)$ de la parábola $y = x^2 + 1$ en el que la suma de sus coordenadas alcanza su mínimo valor.** Sea $P(x, y)$ un punto cualquiera de la parábola. Como el punto pertenece a la curva $y = x^2 + 1$, sus coordenadas son de la forma: $$P(x, x^2 + 1)$$ Queremos minimizar la suma de sus coordenadas, a la que llamaremos $S(x)$: $$S(x) = x + y = x + (x^2 + 1) = x^2 + x + 1$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso es expresar la magnitud a optimizar como una función de una sola variable utilizando la relación dada (la ecuación de la curva).

Para hallar el mínimo de $S(x) = x^2 + x + 1$, calculamos su primera derivada e igualamos a cero: $$S'(x) = 2x + 1$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$$ Para comprobar que se trata de un mínimo, podemos usar la segunda derivada: $$S''(x) = 2$$ Como $S''(-1/2) = 2 \gt 0$, confirmamos que en $x = -1/2$ hay un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico ($f''(a) \gt 0$), la función tiene un mínimo en ese punto.

Ya conocemos la abscisa del punto, $x = -1/2$. Ahora calculamos la ordenada $y$ sustituyendo en la ecuación de la parábola $y = x^2 + 1$: $$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$$ Por tanto, el punto buscado es: $$\boxed{P\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)}$$ **Tabla de signos de $S'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, +\infty)\\ \hline S'(x) = 2x+1 & - & 0 & +\\ \hline S(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Como la función es una parábola con las ramas hacia arriba, este mínimo relativo es también el **mínimo absoluto**.

**b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la parábola dada en el punto de abscisa $x = -1/2$.** La ecuación de la recta normal a una función $f(x)$ en el punto $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$$ En nuestro caso, la función es $f(x) = x^2 + 1$ y el punto de estudio es $a = -1/2$. 1. Calculamos la imagen del punto: $$f(-1/2) = \frac{5}{4}$$ 2. Calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = 2x$$ 3. Evaluamos la derivada en $x = -1/2$ para obtener la pendiente de la recta tangente ($m_t$): $$m_t = f'(-1/2) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la normal ($m_n$) es la opuesta de la inversa de la pendiente de la tangente: $m_n = -1/m_t$.

La pendiente de la recta normal será: $$m_n = -\frac{1}{f'(-1/2)} = -\frac{1}{-1} = 1$$ Sustituimos el punto $(-1/2, 5/4)$ y la pendiente $m_n = 1$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - \frac{5}{4} = 1 \cdot \left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$ $$y - \frac{5}{4} = x + \frac{1}{2}$$ Despejamos $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = x + \frac{1}{2} + \frac{5}{4} = x + \frac{2}{4} + \frac{5}{4} = x + \frac{7}{4}$$ ✅ **Resultado (Recta normal):** $$\boxed{y = x + \frac{7}{4}}$$