Probabilidad y Estadística 2018 Castilla la Mancha
Probabilidad: Teorema de la Probabilidad Total, Bayes y Distribución Binomial
5A. a) En una tienda de lámparas tienen tres proveedores A, B y C. A suministra el $20 \%$, B el $10 \ \%$ y C el resto. De las lámparas de A salen defectuosas el $5 \%$, de las de B el $4 \ %$ y de las de C el $2 \ %$. Elegida una lámpara al azar de la tienda, calcula razonadamente la probabilidad de:
a1) No salgan defectuosas. (0,75 puntos)
a2) Si resultó defectuosa, que fuera suministrada por B. (0,5 puntos)
b) Una parte de un examen consta de cinco preguntas tipo test. Se aprueba dicha parte si contestas correctamente al menos tres preguntas. Calcula razonadamente la probabilidad de aprobar dicha parte, contestando al azar, cuando:
b1) Cada respuesta tiene dos ítems, solamente uno verdadero. (0,75 puntos)
b2) Cada respuesta tiene cuatro ítems, solamente uno verdadero. (0,5 puntos)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a1) No salgan defectuosas. (0,75 puntos)**
Primero definimos los sucesos del experimento para los proveedores y el estado de las lámparas:
- $A$: Lámpara suministrada por el proveedor A.
- $B$: Lámpara suministrada por el proveedor B.
- $C$: Lámpara suministrada por el proveedor C.
- $D$: La lámpara es defectuosa.
- $\bar{D}$: La lámpara no es defectuosa (correcta).
Datos del enunciado:
$P(A) = 0,20$
$P(B) = 0,10$
$P(C) = 1 - (0,20 + 0,10) = 0,70$
Probabilidades condicionadas de ser defectuosa:
$P(D|A) = 0,05 \implies P(\bar{D}|A) = 0,95$
$P(D|B) = 0,04 \implies P(\bar{D}|B) = 0,96$
$P(D|C) = 0,02 \implies P(\bar{D}|C) = 0,98$
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no defectuosa
Para calcular la probabilidad de que una lámpara no sea defectuosa, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(\bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(B) \cdot P(\bar{D}|B) + P(C) \cdot P(\bar{D}|C)$$
Sustituimos los valores:
$$P(\bar{D}) = (0,20 \cdot 0,95) + (0,10 \cdot 0,96) + (0,70 \cdot 0,98)$$
$$P(\bar{D}) = 0,19 + 0,096 + 0,686 = 0,972$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos que forman una partición (A, B y C) debe ser siempre 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{D}) = 0,972}$$
Paso 3
Cálculo de probabilidad a posteriori (Bayes)
**a2) Si resultó defectuosa, que fuera suministrada por B. (0,5 puntos)**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(B|D)$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**.
Primero, necesitamos $P(D)$. Como sabemos que $P(\bar{D}) = 0,972$:
$$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0,972 = 0,028$$
Aplicamos Bayes:
$$P(B|D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{P(B) \cdot P(D|B)}{P(D)}$$
Sustituimos:
$$P(B|D) = \frac{0,10 \cdot 0,04}{0,028} = \frac{0,004}{0,028}$$
$$P(B|D) = \frac{4}{28} = \frac{1}{7} \approx 0,1429$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B|D) = \frac{1}{7} \approx 0,1429}$$
Paso 4
Identificación de la distribución binomial
**b) Una parte de un examen consta de cinco preguntas tipo test. Se aprueba dicha parte si contestas correctamente al menos tres preguntas.**
Este experimento sigue una **distribución Binomial** $B(n, p)$, donde:
- $n = 5$ (número de preguntas).
- $p$ es la probabilidad de acertar una pregunta al azar.
- $X$ es la variable que cuenta el número de aciertos.
Se aprueba si $X \ge 3$, es decir:
$$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$$
La fórmula de la probabilidad binomial es:
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
💡 **Tip:** El número combinatorio se calcula como $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Paso 5
Cálculo con dos ítems (p = 0.5)
**b1) Cada respuesta tiene dos ítems, solamente uno verdadero. (0,75 puntos)**
En este caso, $p = \frac{1}{2} = 0,5$. Entonces $X \sim B(5; 0,5)$.
Calculamos cada término:
- $P(X=3) = \binom{5}{3} (0,5)^3 (0,5)^2 = 10 \cdot 0,125 \cdot 0,25 = 0,3125$
- $P(X=4) = \binom{5}{4} (0,5)^4 (0,5)^1 = 5 \cdot 0,0625 \cdot 0,5 = 0,15625$
- $P(X=5) = \binom{5}{5} (0,5)^5 (0,5)^0 = 1 \cdot 0,03125 \cdot 1 = 0,03125$
Sumamos:
$$P(X \ge 3) = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5$$
💡 **Tip:** Cuando $p=0,5$, la distribución es simétrica. En este caso, acertar 3 o más es igual de probable que acertar 2 o menos.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 3) = 0,5}$$
Paso 6
Cálculo con cuatro ítems (p = 0.25)
**b2) Cada respuesta tiene cuatro ítems, solamente uno verdadero. (0,5 puntos)**
Aquí, $p = \frac{1}{4} = 0,25$ y $1-p = 0,75$. Entonces $X \sim B(5; 0,25)$.
Calculamos los términos:
- $P(X=3) = \binom{5}{3} (0,25)^3 (0,75)^2 = 10 \cdot 0,015625 \cdot 0,5625 = 0,08789$
- $P(X=4) = \binom{5}{4} (0,25)^4 (0,75)^1 = 5 \cdot 0,00390625 \cdot 0,75 = 0,01465$
- $P(X=5) = \binom{5}{5} (0,25)^5 (0,75)^0 = 1 \cdot 0,00097656 \cdot 1 = 0,00098$
Sumamos las probabilidades:
$$P(X \ge 3) = 0,08789 + 0,01465 + 0,00098 = 0,10352$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 3) \approx 0,1035}$$