Geometría en el espacio: distancias, proyecciones y planos

Para resolver los apartados, primero necesitamos expresar la recta $r$ en una forma más manejable (paramétrica). La recta viene dada por la intersección de dos planos: $$r: \begin{cases} x - 2y - 6 = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}$$ Podemos parametrizar la recta haciendo $y = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $z = -2y = -2\lambda$. 2. De la primera ecuación: $x = 6 + 2y = 6 + 2\lambda$. Así, las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r: \begin{cases} x = 6 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -2\lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos un punto $P_r$ y el vector director $\vec{v}_r$: - Punto de la recta: $P_r(6, 0, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (2, 1, -2)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables y despejar las demás. Si los planos son sencillos, como en este caso, es el método más rápido.

**a) Calcula la distancia del punto $A$ a la recta $r$. (0,75 puntos)** Usaremos la fórmula de la distancia de un punto $A$ a una recta $r$ basada en el producto vectorial: $$d(A, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{P_r A}|}{|\vec{v}_r|}$$ Primero, calculamos el vector $\vec{P_r A}$: $$\vec{P_r A} = A - P_r = (-1 - 6, 3 - 0, 0 - 0) = (-7, 3, 0)$$ Ahora calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{P_r A}$ mediante un determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{P_r A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ -7 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{i}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot 3) - \vec{j}(2 \cdot 0 - (-2) \cdot (-7)) + \vec{k}(2 \cdot 3 - 1 \cdot (-7))$$ $$= \vec{i}(6) - \vec{j}(-14) + \vec{k}(6 + 7) = (6, 14, 13)$$ Calculamos los módulos necesarios: - $|\vec{v}_r \times \vec{P_r A}| = \sqrt{6^2 + 14^2 + 13^2} = \sqrt{36 + 196 + 169} = \sqrt{401}$ - $|\vec{v}_r| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ Finalmente: $$d(A, r) = \frac{\sqrt{401}}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, r) = \frac{\sqrt{401}}{3} \approx 6,67 \text{ unidades}}$$

**b) Encuentra razonadamente el punto de la recta $r$ cuya distancia al punto $A$ sea mínima. (0,75 puntos)** El punto $Q$ de la recta $r$ más cercano a $A$ es la proyección ortogonal de $A$ sobre $r$. Este punto se obtiene intersecando la recta $r$ con un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $A$. 1. **Hallar el plano $\pi$:** Como el plano es perpendicular a $r$, su vector normal será el vector director de la recta: $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, 1, -2)$. La ecuación del plano será: $2x + 1y - 2z + D = 0$. Hacemos que pase por $A(-1, 3, 0)$: $$2(-1) + 3 - 2(0) + D = 0 \implies -2 + 3 + D = 0 \implies D = -1$$ El plano es $\pi: 2x + y - 2z - 1 = 0$. 2. **Intersección de $r$ con $\pi$:** Sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en el plano: $$2(6 + 2\lambda) + (\lambda) - 2(-2\lambda) - 1 = 0$$ $$12 + 4\lambda + \lambda + 4\lambda - 1 = 0 \implies 9\lambda + 11 = 0 \implies \lambda = -\frac{11}{9}$$ 3. **Cálculo del punto $Q$:** Sustituimos $\lambda$ en las ecuaciones de $r$: $$x = 6 + 2\left(-\frac{11}{9}\right) = \frac{54 - 22}{9} = \frac{32}{9}$$ $$y = -\frac{11}{9}$$ $$z = -2\left(-\frac{11}{9}\right) = \frac{22}{9}$$ 💡 **Tip:** El punto de distancia mínima de un punto a una recta siempre es el pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q \left( \frac{32}{9}, -\frac{11}{9}, \frac{22}{9} \right)}$$

**c) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por $A$ y $B$ sea paralelo a la recta $r$. (1 punto)** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores (no paralelos). - El plano contiene a $A(-1, 3, 0)$ y $B(2, 0, -1)$, por lo que uno de sus vectores directores es $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - (-1), 0 - 3, -1 - 0) = (3, -3, -1)$$ - El plano es paralelo a la recta $r$, por lo que el vector director de la recta $\vec{v}_r = (2, 1, -2)$ también es un vector director del plano. Para hallar la ecuación general, calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(6 - (-1)) - \vec{j}(-6 - (-2)) + \vec{k}(3 - (-6)) = (7, 4, 9)$$ La ecuación del plano es de la forma $7x + 4y + 9z + D = 0$. Usamos el punto $A(-1, 3, 0)$: $$7(-1) + 4(3) + 9(0) + D = 0 \implies -7 + 12 + D = 0 \implies D = -5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{7x + 4y + 9z - 5 = 0}$$