Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$.** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & -4 \\ 1 & -4 & -3 & a^2 - 3 \end{array}\right)$$ El estudio del rango de estas matrices mediante el Teorema de Rouché-Capelli nos permitirá clasificar el sistema. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli establece que si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado; si $rg(A) = rg(A^*) \lt n$, es compatible indeterminado; y si $rg(A) \neq rg(A^*)$, es incompatible.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 2 \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot (-4)] - [(-1) \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 \cdot (-3)]$$ $$|A| = [-6 - 1 + 4] - [-2 - 4 + 3] = [-3] - [-3] = 0$$ Como $|A| = 0$, el rango de $A$ no es 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3 \neq 0$$ Por lo tanto, **$rg(A) = 2$** para cualquier valor de $a$. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz principal es 0, el rango siempre será menor que el número de incógnitas.

Como $rg(A) = 2$, estudiamos el rango de $A^*$ analizando el determinante del menor de orden 3 que incluye la columna de términos independientes: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -4 \\ 1 & -4 & a^2 - 3 \end{vmatrix}$$ Aplicamos Sarrus: $$|M| = [1 \cdot 2 \cdot (a^2 - 3) + (-1) \cdot (-4) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-4)] - [1 \cdot 2 \cdot 1 + (-4) \cdot (-4) \cdot 1 + (a^2 - 3) \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$|M| = [2a^2 - 6 + 4 - 4] - [2 + 16 - a^2 + 3]$$ $$|M| = [2a^2 - 6] - [21 - a^2] = 2a^2 - 6 - 21 + a^2 = 3a^2 - 27$$ Igualamos a cero para ver cuándo el rango de $A^*$ es 2: $$3a^2 - 27 = 0 \implies 3a^2 = 27 \implies a^2 = 9 \implies a = \pm 3$$ - Si $a \neq 3$ y $a \neq -3$, entonces $|M| \neq 0$ y **$rg(A^*) = 3$**. - Si $a = 3$ o $a = -3$, entonces $|M| = 0$ y **$rg(A^*) = 2$** (ya que contiene el menor de orden 2 no nulo de $A$).

Aplicamos el Teorema de Rouché-Capelli: - **Caso $a \neq 3$ y $a \neq -3$**: $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)** (no tiene solución). - **Caso $a = 3$ o $a = -3$**: $rg(A) = 2 = rg(A^*) \lt 3$ (nº incógnitas). El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} a \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}: \text{Sistema Incompatible} \\ a = 3 \text{ o } a = -3: \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) Resuélvelo razonadamente para el valor $a = -3$.** Para $a = -3$, el sistema es Compatible Indeterminado. El sistema original es: $$\begin{cases} x - y - z = 1 \\ x + 2y + z = -4 \\ x - 4y - 3z = (-3)^2 - 3 = 6 \end{cases}$$ Como $rg(A) = 2$, una ecuación es redundante (la tercera, pues es combinación lineal de las otras). Usamos las dos primeras y tomamos $z$ como parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x - y = 1 + \lambda \\ x + 2y = -4 - \lambda \end{cases}$$ Resolvemos por reducción restando la primera a la segunda: $$(x + 2y) - (x - y) = (-4 - \lambda) - (1 + \lambda)$$ $$3y = -5 - 2\lambda \implies y = \frac{-5 - 2\lambda}{3}$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x = 1 + \lambda + y = 1 + \lambda + \frac{-5 - 2\lambda}{3} = \frac{3 + 3\lambda - 5 - 2\lambda}{3} = \frac{-2 + \lambda}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{\lambda - 2}{3}, \frac{-2\lambda - 5}{3}, \lambda \right), \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$