Continuidad, derivabilidad e integración de funciones a trozos

**a) Calcula razonadamente los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. (1,5 puntos)** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. Analizamos las dos ramas: - Si $x \lt 0$, $f(x) = \frac{x^2+a}{x-1}$. Esta función racional es continua en su dominio ($x \neq 1$). Como estamos en el intervalo $x \lt 0$, es continua. - Si $x \gt 0$, $f(x) = bx-1$. Es una función polinómica, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$. El punto crítico es $x = 0$. Para que sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+a}{x-1} = \frac{0+a}{0-1} = -a$ 2. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (bx-1) = b(0)-1 = -1$ 3. $f(0) = b(0)-1 = -1$ Igualamos los límites para garantizar la continuidad: $$-a = -1 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Siempre debemos hallar primero la condición de continuidad. $$\boxed{a=1}$$

Una vez que sabemos que $a=1$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 1}{x - 1} & si \ x \lt 0 \\ bx - 1 & si \ x \ge 0 \end{cases}$$ Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: - Para $x \lt 0$, usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$$ - Para $x \gt 0$: $$f'(x) = b$$ La función derivada queda definida como: $$f'(x)=\begin{cases} \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} & \text{si } x \lt 0\\ b & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = \frac{0-0-1}{(0-1)^2} = -1$ 2. $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} b = b$ Igualando ambas: $$b = -1$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a=1, b=-1}$$

**b) Calcula razonadamente el parámetro $b$ para que $\int_{1}^{2} f(x) dx = 4$. (1 punto)** En este apartado, el intervalo de integración es $[1, 2]$. Observamos que para cualquier valor $x$ en este intervalo, se cumple que $x \ge 0$. Por tanto, la expresión de la función que debemos integrar es la de la segunda rama: $$f(x) = bx - 1$$ Planteamos la ecuación: $$\int_{1}^{2} (bx - 1) dx = 4$$ 💡 **Tip:** En integrales de funciones a trozos, asegúrate de identificar qué rama o ramas caen dentro del intervalo de integración $[a, b]$.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int_{1}^{2} (bx - 1) dx = \left[ \frac{bx^2}{2} - x \right]_1^2 = 4$$ Evaluamos en los límites de integración: $$\left( \frac{b(2)^2}{2} - 2 \right) - \left( \frac{b(1)^2}{2} - 1 \right) = 4$$ $$(2b - 2) - \left( \frac{b}{2} - 1 \right) = 4$$ $$2b - 2 - \frac{b}{2} + 1 = 4$$ Agrupamos los términos con $b$ y los términos constantes: $$\frac{3b}{2} - 1 = 4$$ $$\frac{3b}{2} = 5$$ $$3b = 10 \implies b = \frac{10}{3}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{b = \frac{10}{3}}$$