Cálculo de parámetros y comportamiento a largo plazo de una función de concentración

**a) Determina los valores de $a$ y $b$ para que el modelo de la concentración tenga un extremo relativo en el punto $(2, 8e^{-2})$. (1,5 puntos)** Para que la función tenga un extremo relativo en el punto $(2, 8e^{-2})$, deben cumplirse dos condiciones: 1. El punto pertenece a la gráfica: $C(2) = 8e^{-2}$. 2. La derivada en ese punto es cero (condición de extremo relativo): $C'(2) = 0$. Calculamos primero la derivada de $C(t) = at^2 e^{-bt}$ usando la regla del producto y la regla de la cadena: $$C'(t) = a \cdot \left[ 2t \cdot e^{-bt} + t^2 \cdot (-b e^{-bt}) \right]$$ $$C'(t) = a e^{-bt} (2t - bt^2) = at e^{-bt} (2 - bt)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $u(x) \cdot v(x)$ la fórmula es $u'v + uv'$. En este caso $u=t^2$ y $v=e^{-bt}$. $$\boxed{C'(t) = at e^{-bt} (2 - bt)}$$

Aplicamos las condiciones mencionadas anteriormente: **Condición 1 (Punto de la gráfica):** $$C(2) = a(2)^2 e^{-b(2)} = 4ae^{-2b}$$ Igualamos al valor dado: $4ae^{-2b} = 8e^{-2}$. Dividiendo entre 4: $$(1) \quad ae^{-2b} = 2e^{-2}$$ **Condición 2 (Extremo relativo):** $$C'(2) = a(2) e^{-2b} (2 - 2b) = 0$$ Como el enunciado indica que $a \in \mathbb{R}^+$ (por lo que $a \neq 0$) y la función exponencial nunca es nula ($e^{-2b} \neq 0$), la única posibilidad es que el factor del paréntesis sea cero: $$2 - 2b = 0 \implies 2 = 2b \implies b = 1$$ Sustituimos $b = 1$ en la ecuación (1): $$ae^{-2(1)} = 2e^{-2} \implies ae^{-2} = 2e^{-2} \implies a = 2$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo en $x=x_0$ implica $f'(x_0)=0$. Para hallar los parámetros, siempre es útil despejar primero la variable que aparece en la ecuación de la derivada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, \quad b = 1}$$

A continuación, se muestra la gráfica de la función $C(t) = 2t^2 e^{-t}$ donde se puede apreciar el máximo relativo en el punto calculado.

**b) Según el modelo anterior, ¿a qué valor tiende la concentración de este fármaco a largo plazo? Interpreta el resultado. (1 punto)** Con los valores $a=2$ y $b=1$, la función es $C(t) = 2t^2 e^{-t}$. Debemos calcular el límite cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} 2t^2 e^{-t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{2t^2}{e^t}$$ Como tenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{2t^2}{e^t} \stackrel{L'H}{=} \lim_{t \to +\infty} \frac{4t}{e^t}$$ Sigue siendo $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos L'Hôpital de nuevo: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{4t}{e^t} \stackrel{L'H}{=} \lim_{t \to +\infty} \frac{4}{e^t} = \frac{4}{+\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** En el límite de un cociente, la función exponencial de base mayor que 1 siempre "vence" a cualquier potencia de $t$, por lo que el resultado tiende a cero. ✅ **Resultado (Límite):** $$\boxed{\lim_{t \to +\infty} C(t) = 0}$$

La interpretación biológica de este resultado es la siguiente: Conforme pasa el tiempo, la concentración del fármaco en la sangre disminuye progresivamente hasta desaparecer por completo. Esto es coherente con el metabolismo humano, ya que el cuerpo procesa y elimina las sustancias administradas (vía renal, hepática, etc.) con el paso de las horas hasta que no queda rastro de ellas en el torrente sanguíneo. ✅ **Interpretación:** $$\boxed{\text{La concentración tiende a desaparecer con el tiempo.}}$$