Probabilidad condicionada y distribución normal

Para resolver el apartado **a)**, definimos primero los sucesos básicos: - $M$: La persona elegida es mujer. $P(M) = 0,60$. - $H$: La persona elegida es hombre. $P(H) = 1 - 0,60 = 0,40$. - $A, B, C$: La persona vota al partido A, B o C respectivamente. Organizamos la información en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** Para hallar el porcentaje del partido C, restamos de 1 (o del $100 \%$) las probabilidades de A y B. Para mujeres: $1 - (0,3 + 0,5) = 0,2$. Para hombres: $1 - (0,1 + 0,6) = 0,3$.

**a1) Ser hombre y votante de C. (0,75 puntos)** Queremos calcular la probabilidad de la intersección $P(H \cap C)$. Utilizando la regla del producto (o probabilidad compuesta): $$P(H \cap C) = P(H) \cdot P(C|H)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(H \cap C) = 0,40 \cdot 0,30 = 0,12$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H \cap C) = 0,12}$$ La probabilidad de elegir a un hombre que vote al partido C es del $12 \%$.

**a2) Si resultó ser votante de B, que sea mujer. (0,5 puntos)** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicaremos el **Teorema de Bayes**. Queremos hallar $P(M|B)$: $$P(M|B) = \frac{P(M \cap B)}{P(B)}$$ Primero calculamos la probabilidad total de votar al partido B, $P(B)$, sumando las ramas que terminan en B: $$P(B) = P(M) \cdot P(B|M) + P(H) \cdot P(B|H)$$ $$P(B) = (0,60 \cdot 0,50) + (0,40 \cdot 0,60) = 0,30 + 0,24 = 0,54$$ Ahora aplicamos la fórmula condicionada: $$P(M|B) = \frac{0,60 \cdot 0,50}{0,54} = \frac{0,30}{0,54} = \frac{30}{54} = \frac{5}{9} \approx 0,5556$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|B) = \frac{5}{9} \approx 0,5556}$$ Si sabemos que la persona vota al partido B, la probabilidad de que sea mujer es aproximadamente del $55,56 \%$.

**b1) ¿Cuántos opositores han superado el 5? Razona la respuesta. (0,75 puntos)** Sea $X$ la variable aleatoria que representa la nota de los opositores. Sabemos que $X \sim N(4,05; 2,5)$. Para un total de $N = 1000$ opositores. Buscamos $P(X \gt 5)$. Para ello, tipificamos la variable usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \gt 5) = P\left( Z \gt \frac{5 - 4,05}{2,5} \right) = P\left( Z \gt \frac{0,95}{2,5} \right) = P(Z \gt 0,38)$$ Como la tabla de la normal estándar nos da valores para $P(Z \le z)$: $$P(Z \gt 0,38) = 1 - P(Z \le 0,38)$$ Buscamos $0,38$ en la tabla: $P(Z \le 0,38) = 0,6480$. $$P(X \gt 5) = 1 - 0,6480 = 0,3520$$ Para hallar el número de opositores, multiplicamos la probabilidad por el total: $$\text{Número de opositores} = 1000 \cdot 0,3520 = 352$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{352 \text{ opositores han superado el 5}}$$

**b2) Si tenemos que adjudicar 330 plazas, calcula razonadamente la nota de corte. (0,5 puntos)** Si hay 330 plazas para 1000 opositores, la proporción de personas que obtienen plaza es: $$\frac{330}{1000} = 0,33$$ La nota de corte $k$ será aquella que deja por encima al $33 \%$ de los alumnos, es decir: $P(X \ge k) = 0,33$. Tipificamos: $$P\left( Z \ge \frac{k - 4,05}{2,5} \right) = 0,33$$ Esto es equivalente a decir que por debajo de esa nota está el $67 \%$ ($1 - 0,33$): $$P\left( Z \le \frac{k - 4,05}{2,5} \right) = 0,67$$ Buscamos en el cuerpo de la tabla el valor de probabilidad más cercano a $0,67$. En la tabla normal, para una probabilidad de $0,67$, el valor de $z$ es aproximadamente $0,44$ (ya que $P(Z \le 0,44) = 0,6700$). Igualamos: $$\frac{k - 4,05}{2,5} = 0,44$$ $$k - 4,05 = 0,44 \cdot 2,5$$ $$k - 4,05 = 1,1$$ $$k = 4,05 + 1,1 = 5,15$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La nota de corte es } 5,15}$$