Vectores: perpendicularidad, independencia lineal y ecuaciones de la recta

**a) Determina el valor de $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que el vector $\vec{u} - \lambda\vec{v}$ sea perpendicular a $\vec{w}$. (1 punto)** Primero, calculamos el vector resultante de la operación $\vec{u} - \lambda\vec{v}$: $$\vec{u} - \lambda\vec{v} = (0, 1, 1) - \lambda(1, 1, -1) = (0 - \lambda, 1 - \lambda, 1 - (-\lambda)) = (-\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda).$$ Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero: $$(\vec{u} - \lambda\vec{v}) \cdot \vec{w} = 0.$$ Sustituimos los componentes de los vectores: $$(-\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda) \cdot (2, 0, 3) = 0.$$ $$(-\lambda) \cdot 2 + (1 - \lambda) \cdot 0 + (1 + \lambda) \cdot 3 = 0.$$ $$-2\lambda + 0 + 3 + 3\lambda = 0.$$ $$\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = -3.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición de perpendicularidad (ortogonalidad) entre dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es que $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = -3}$$

**b) ¿Son linealmente dependientes los vectores $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$? Razona la respuesta. (0,5 puntos)** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente dependientes si el determinante de la matriz formada por sus componentes es igual a cero. Si el determinante es distinto de cero, son linealmente independientes. Calculamos el determinante de la matriz $M = (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ por la regla de Sarrus: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix}.$$ Desarrollamos: $$\det(M) = (0 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 0) - (1 \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$\det(M) = (0 - 2 + 0) - (2 + 0 + 3)$$ $$\det(M) = -2 - 5 = -7.$$ Como $\det(M) = -7 \neq 0$, el rango de la matriz es 3. 💡 **Tip:** Si el determinante de tres vectores en $\mathbb{R}^3$ es distinto de cero, los vectores forman una base del espacio y, por tanto, son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los vectores son linealmente independientes porque } \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \neq 0}$$

**c) Encuentra razonadamente las ecuaciones implícitas o cartesianas de la recta que pase por el punto $P(2, 0, 2)$ y que sea perpendicular simultáneamente a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. (1 punto)** Si la recta es perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, su vector director $\vec{d_r}$ debe ser paralelo al producto vectorial de ambos: $$\vec{d_r} = \vec{u} \times \vec{v}.$$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante con los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{d_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_r} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_r} = \vec{i}(-1 - 1) - \vec{j}(0 - 1) + \vec{k}(0 - 1)$$ $$\vec{d_r} = -2\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k} = (-2, 1, -1).$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ genera un vector que es perpendicular a la vez a $\vec{a}$ y a $\vec{b}$.

Con el punto $P(2, 0, 2)$ y el vector director $\vec{d_r} = (-2, 1, -1)$, escribimos primero la ecuación en forma continua: $$\frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 2}{-1}$$ $$\frac{x - 2}{-2} = y = \frac{z - 2}{-1}.$$ Para obtener las ecuaciones implícitas (o cartesianas), igualamos los términos dos a dos: 1) De $\frac{x - 2}{-2} = y$ obtenemos: $$x - 2 = -2y \implies x + 2y - 2 = 0.$$ 2) De $y = \frac{z - 2}{-1}$ obtenemos: $$-y = z - 2 \implies y + z - 2 = 0.$$ El sistema formado por estas dos ecuaciones define la recta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x + 2y - 2 = 0 \\ y + z - 2 = 0 \end{cases}}$$