Invertibilidad y cálculo de matriz inversa y determinantes

**a) Encuentra los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que la siguiente matriz tenga inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a - 1 & 1 & -1 \\ 0 & a - 2 & 1 \\ a & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(a-1)(a-2)(2) + (1)(1)(a) + (-1)(0)(0)] - [a(a-2)(-1) + 0(1)(a-1) + 2(0)(1)]$$ Operamos los términos: $$|A| = [2(a^2 - 3a + 2) + a] - [-a^2 + 2a]$$ $$|A| = 2a^2 - 6a + 4 + a + a^2 - 2a$$ $$|A| = 3a^2 - 7a + 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $A^{-1}$, es condición necesaria y suficiente que $\det(A) \neq 0$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que hacen que la matriz no sea invertible: $$3a^2 - 7a + 4 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6} = \frac{7 \pm 1}{6}$$ Esto nos da dos soluciones: $$a_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ $$a_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ Por lo tanto, la matriz $A$ tendrá inversa para cualquier valor de $a$ excepto $1$ y $4/3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 4/3\}}$$

**b) Para $a = 2$ calcula razonadamente $A^{-1}$ y comprueba el resultado.** Sustituimos $a = 2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 - 2 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Primero, calculamos su determinante (usando la expresión del apartado anterior): $$|A| = 3(2)^2 - 7(2) + 4 = 12 - 14 + 4 = 2$$ Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$ obteniendo los cofactores $C_{ij}$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-2) = 4$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

La matriz inversa viene dada por $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^T$. Transponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(A))^T = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por $1/|A| = 1/2$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1/2 \\ 1 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ **Comprobación:** Verificamos que $A \cdot A^{-1} = I$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1/2 \\ 1 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1+0 & -1+2-1 & 1/2-1/2+0 \\ 0+0+0 & 0+0+1 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & -2+0+2 & 1+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1/2 \\ 1 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**c) Para $a = 0$ calcula razonadamente el valor de los determinantes $|A^{-1}|$ y $|2A|$.** Primero, hallamos el determinante de $A$ para $a = 0$ usando la expresión $|A| = 3a^2 - 7a + 4$: $$|A| = 3(0)^2 - 7(0) + 4 = 4$$ Para calcular $|A^{-1}|$, aplicamos la propiedad del determinante de la matriz inversa: $$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{4} = 0.25$$ 💡 **Tip:** Recuerda la propiedad $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$. Como $A \cdot A^{-1} = I$ y $|I| = 1$, entonces $|A| \cdot |A^{-1}| = 1$. ✅ **Resultado (parte 1):** $$\boxed{|A^{-1}| = \frac{1}{4}}$$

Para calcular $|2A|$, utilizamos la propiedad del determinante de una matriz multiplicada por un escalar. Si $A$ es una matriz de orden $n$, entonces $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$. En este caso, la matriz $A$ es de orden $n = 3$ y el escalar es $k = 2$: $$|2A| = 2^3 \cdot |A| = 8 \cdot 4 = 32$$ 💡 **Tip:** No olvides elevar el escalar al orden de la matriz. Un error común es hacer simplemente $2 \cdot |A|$. ✅ **Resultado (parte 2):** $$\boxed{|2A| = 32}$$