Área entre las funciones f(x) = 2xe⁻ˣ y g(x) = x²e⁻ˣ

Para hallar el área del recinto limitado por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, primero debemos encontrar los puntos donde ambas funciones se intersecan. Igualamos las expresiones: $$f(x) = g(x) \implies 2x e^{-x} = x^2 e^{-x}$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ es siempre positiva ($e^{-x} \neq 0$ para todo $x$), podemos simplificar la ecuación dividiendo por $e^{-x}$: $$2x = x^2 \implies x^2 - 2x = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado: $$x(x - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = 0$ - $x_2 = 2$ 💡 **Tip:** Al resolver ecuaciones con exponenciales, recuerda que $e^{u}$ nunca es cero, lo que permite simplificar términos sin perder soluciones. Los límites de integración para calcular el área serán **$x=0$** y **$x=2$**.

Debemos determinar cuál de las dos funciones queda por encima de la otra en el intervalo $(0, 2)$ para plantear correctamente la integral del área. Tomamos un punto de prueba dentro del intervalo, por ejemplo $x = 1$: - $f(1) = 2(1)e^{-1} = 2e^{-1} \approx 0.736$ - $g(1) = (1)^2e^{-1} = e^{-1} \approx 0.368$ Como $f(1) > g(1)$, deducimos que **$f(x) \ge g(x)$** en todo el intervalo $[0, 2]$. El área se calculará mediante la integral: $$A = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{2} (2x e^{-x} - x^2 e^{-x}) \, dx$$ $$\boxed{A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) e^{-x} \, dx}$$

Buscamos una primitiva para la función $h(x) = (2x - x^2) e^{-x}$. En este caso, podemos observar que la función es el resultado directo de una derivada, o bien usar integración por partes. Observación directa: Si derivamos $F(x) = x^2 e^{-x}$ usando la regla del producto: $$F'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = (2x - x^2)e^{-x}$$ Esto coincide exactamente con nuestro integrando. Por tanto: $$\int (2x - x^2) e^{-x} \, dx = x^2 e^{-x} + C$$ 💡 **Tip:** Antes de lanzarte a hacer integración por partes (que en este caso requeriría dos pasos), comprueba si el integrando se parece a la derivada de un producto sencillo. ¡Ahorra mucho tiempo! $$\boxed{\int (2x - x^2) e^{-x} \, dx = x^2 e^{-x}}$$

Aplicamos la Regla de Barrow con los límites calculados anteriormente: $$A = \left[ x^2 e^{-x} \right]_{0}^{2}$$ Sustituimos los límites superior e inferior: $$A = (2^2 \cdot e^{-2}) - (0^2 \cdot e^{0})$$ $$A = 4 e^{-2} - 0 = \frac{4}{e^2}$$ Calculando el valor aproximado: $$A \approx \frac{4}{7.389} \approx 0.541 \text{ unidades de área. }$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \dfrac{4}{e^2} \text{ u}^2}$$ Visualización de las funciones y el área: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = 2x e^{-x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x) = x^2 e^{-x}", "color": "#ef4444" }, { "id": "area", "latex": "x^2 e^{-x} \\le y \\le 2x e^{-x} \\{0 \\le x \\le 2\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -0.5, "top": 1.5 } } }