Teorema de Rolle y aplicaciones de la derivada

**a) Prueba que cualquiera que sea la constante $a$ la función $f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + a$ cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[1,3]$. (0,75 puntos)** Para que se cumpla el Teorema de Rolle en un intervalo $[a, b]$, la función debe satisfacer tres condiciones: 1. Ser continua en el intervalo cerrado $[1, 3]$. 2. Ser derivable en el intervalo abierto $(1, 3)$. 3. Que los valores en los extremos sean iguales: $f(1) = f(3)$. Analizamos cada una: - **Continuidad:** $f(x)$ es una función polinómica, y como todos los polinomios, es continua en toda la recta real $\mathbb{R}$, por lo que es continua en $[1, 3]$. - **Derivabilidad:** Al ser polinómica, también es derivable en $\mathbb{R}$, por lo que es derivable en $(1, 3)$. Su derivada es: $$f'(x) = 3x^2 - 10x + 7$$ - **Igualdad en los extremos:** $$f(1) = 1^3 - 5(1)^2 + 7(1) + a = 1 - 5 + 7 + a = 3 + a$$ $$f(3) = 3^3 - 5(3)^2 + 7(3) + a = 27 - 45 + 21 + a = 3 + a$$ Como $f(1) = f(3) = 3 + a$, se cumple la tercera condición independientemente del valor de $a$. 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Rolle garantiza que si se cumplen estas condiciones, existe al menos un punto $c \in (1, 3)$ tal que $f'(c) = 0$.

**b) Calcula razonadamente un punto del intervalo abierto $(1,3)$ cuya existencia asegura el teorema de Rolle. (0,75 puntos)** Debemos encontrar un valor $c \in (1, 3)$ tal que $f'(c) = 0$. Utilizamos la derivada calculada anteriormente: $$f'(x) = 3x^2 - 10x + 7$$ Igualamos a cero: $$3c^2 - 10c + 7 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$c = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 84}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{6}$$ $$c = \frac{10 \pm 4}{6}$$ Esto nos da dos posibles valores: 1. $c_1 = \frac{10 + 4}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33$ 2. $c_2 = \frac{10 - 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$ El punto debe pertenecer al intervalo **abierto** $(1, 3)$. El valor $c_2 = 1$ no pertenece al intervalo abierto, pero $c_1 = \frac{7}{3}$ sí está contenido en $(1, 3)$. ✅ **Resultado (punto de Rolle):** $$\boxed{c = \frac{7}{3}}$$

**c) Calcula razonadamente los puntos de la gráfica $f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x$ donde la recta tangente tenga la misma pendiente que la recta $y = 4x + 2$. (1 punto)** La pendiente de la recta dada $y = 4x + 2$ es $m = 4$. Buscamos los puntos $x$ donde la pendiente de la recta tangente, dada por $f'(x)$, sea igual a $4$. Calculamos la derivada de $f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x$ (que es la misma que en el apartado anterior ya que la constante $a$ desaparece): $$f'(x) = 3x^2 - 10x + 7$$ Igualamos la derivada a la pendiente deseada: $$3x^2 - 10x + 7 = 4 \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación: $$x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6}$$ $$x = \frac{10 \pm 8}{6}$$ Los valores de abscisa son: - $x_1 = \frac{18}{6} = 3$ - $x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Para dar los puntos de la gráfica, necesitamos calcular sus coordenadas $y = f(x)$: 1. Para $x_1 = 3$: $$f(3) = 3^3 - 5(3)^2 + 7(3) = 27 - 45 + 21 = 3 \implies P_1(3, 3)$$ 2. Para $x_2 = 1/3$: $$f(1/3) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 5\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 7\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + \frac{7}{3}$$ Buscamos el denominador común (27): $$f(1/3) = \frac{1 - 15 + 63}{27} = \frac{49}{27} \implies P_2\left(\frac{1}{3}, \frac{49}{27}\right)$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto de abscisa $x_0$ coincide siempre con el valor de la derivada $f'(x_0)$. ✅ **Resultado (puntos hallados):** $$\boxed{P_1(3, 3) \quad \text{y} \quad P_2\left(\frac{1}{3}, \frac{49}{27}\right)}$$