Probabilidad Total, Bayes y Distribución Binomial

**a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuoso. (0,75 puntos)** Primero definimos los sucesos según el enunciado: - $A$: El condensador ha sido producido por la máquina A. - $B$: El condensador ha sido producido por la máquina B. - $C$: El condensador ha sido producido por la máquina C. - $D$: El condensador es defectuoso. Calculamos las probabilidades de elegir cada máquina sobre el total de producción diaria ($500 + 700 + 800 = 2000$ condensadores): - $P(A) = \frac{500}{2000} = 0,25$ - $P(B) = \frac{700}{2000} = 0,35$ - $P(C) = \frac{800}{2000} = 0,40$ Las probabilidades condicionadas de ser defectuoso según la máquina son: $P(D|A) = 0,03$, $P(D|B) = 0,04$ y $P(D|C) = 0,02$. Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

Para hallar la probabilidad de que el condensador sea defectuoso $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(D) = 0,25 \cdot 0,03 + 0,35 \cdot 0,04 + 0,40 \cdot 0,02$$ $$P(D) = 0,0075 + 0,014 + 0,008 = 0,0295$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser defectuoso) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (las distintas máquinas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = 0,0295}$$

**a2) Si es defectuoso, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A. (0,5 puntos)** Nos piden calcular la probabilidad condicionada $P(A|D)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$$ Utilizamos los datos calculados en el apartado anterior: - $P(A \cap D) = 0,25 \cdot 0,03 = 0,0075$ - $P(D) = 0,0295$ Sustituimos: $$P(A|D) = \frac{0,0075}{0,0295} \approx 0,2542$$ 💡 **Tip:** Bayes nos permite "invertir" la probabilidad: sabiendo el resultado final (defectuoso), calculamos la probabilidad de la causa (máquina A). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|D) = \frac{15}{59} \approx 0,2542}$$

**b1) Calcula razonadamente la media y la desviación típica de la variable $X$. (0,75 puntos)** Analizamos el experimento: - Lanzamos un dado 5 veces ($n = 5$ pruebas independientes). - El "éxito" es obtener un múltiplo de tres. En un dado, los múltiplos de tres son $\{3, 6\}$. - La probabilidad de éxito es $p = P(\text{múltiplo de 3}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. - La probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = \frac{2}{3}$. Por tanto, la variable $X$ sigue una **distribución Binomial**: $X \sim B(n, p) = B(5, 1/3)$.

Para una distribución binomial $B(n, p)$: **1. Media (Esperanza matemática):** $$\mu = n \cdot p = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \approx 1,6667$$ **2. Desviación típica:** Primero calculamos la varianza $\sigma^2 = n \cdot p \cdot q$: $$\sigma^2 = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{9}$$ La desviación típica es la raíz cuadrada: $$\sigma = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1,0541$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la binomial, la varianza es $npq$. No olvides realizar la raíz cuadrada para obtener la desviación típica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu \approx 1,67; \quad \sigma \approx 1,05}$$

**b2) Calcula razonadamente la probabilidad de obtener cuatro o más múltiplos de tres. (0,5 puntos)** Nos piden calcular $P(X \ge 4)$. Como $n=5$, esto equivale a: $$P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$$ Usamos la fórmula de la probabilidad puntual de la binomial $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$: Para $k=4$: $$P(X=4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^{5-4} = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$$ Para $k=5$: $$P(X=5) = \binom{5}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^{5-5} = 1 \cdot \frac{1}{243} \cdot 1 = \frac{1}{243}$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(X \ge 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243} \approx 0,04526$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{k}$ representa las formas de elegir $k$ éxitos en $n$ intentos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 4) = \frac{11}{243} \approx 0,0453}$$