Distancia de un punto a un plano y lugar geométrico

**a) Calcula la distancia del punto $A$ al plano $\alpha$. (1 punto)** Para calcular la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$, utilizamos la fórmula general: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, tenemos: - Punto $A(2, -3, 1)$, por lo que $x_0 = 2, y_0 = -3, z_0 = 1$. - Plano $\alpha \equiv 4x + 2y + 4z - 15 = 0$, con lo que $A=4, B=2, C=4$ y $D=-15$. 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre debe ser un valor positivo, por eso la fórmula incluye el valor absoluto en el numerador.

Sustituimos los valores en la fórmula: $$d(A, \alpha) = \frac{|4(2) + 2(-3) + 4(1) - 15|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}}$$ Calculamos el numerador: $$|8 - 6 + 4 - 15| = |-9| = 9$$ Calculamos el denominador: $$\sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$$ Por tanto, la distancia es: $$d(A, \alpha) = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, \alpha) = 1.5 \text{ unidades de longitud}}$$

**b) Calcula razonadamente el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al plano $\alpha$ sea igual que la distancia del punto $A$ al plano $\alpha$. (1,5 puntos)** El lugar geométrico de los puntos $P(x, y, z)$ cuya distancia a un plano dado es constante consiste en **dos planos paralelos** al plano original, situados a esa misma distancia (uno a cada lado). En este ejercicio, buscamos los puntos $P(x, y, z)$ tales que: $$d(P, \alpha) = d(A, \alpha) = \frac{3}{2}$$ Utilizando la fórmula de la distancia: $$\frac{|4x + 2y + 4z - 15|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{3}{2}$$ $$\frac{|4x + 2y + 4z - 15|}{6} = \frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** Al resolver una ecuación con valor absoluto $|X| = k$, obtenemos dos soluciones: $X = k$ y $X = -k$.

Multiplicamos por $6$ en ambos lados de la igualdad para simplificar: $$|4x + 2y + 4z - 15| = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$$ Esto nos da lugar a dos posibilidades: **1. Primera solución (Plano $\pi_1$):** $$4x + 2y + 4z - 15 = 9 \implies 4x + 2y + 4z - 24 = 0$$ Dividiendo entre 2 para simplificar: $$2x + y + 2z - 12 = 0$$ **2. Segunda solución (Plano $\pi_2$):** $$4x + 2y + 4z - 15 = -9 \implies 4x + 2y + 4z - 6 = 0$$ Dividiendo entre 2 para simplificar: $$2x + y + 2z - 3 = 0$$

El lugar geométrico pedido son los dos planos paralelos a $\alpha$ calculados anteriormente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \pi_1 \equiv 2x + y + 2z - 12 = 0 \\ \pi_2 \equiv 2x + y + 2z - 3 = 0 \end{cases}}$$