Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -a \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 4 & -5 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -a & 4 \\ 1 & a & 1 & 2 \\ 1 & 4 & -5 & 6 \end{array}\right)$$ El sistema tendrá solución dependiendo de los rangos de estas matrices según el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (nº de incógnitas), el sistema es compatible determinado; si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) < n$, es compatible indeterminado; y si los rangos son distintos, es incompatible.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver para qué valores de $a$ el rango es máximo (rango 3): $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -a \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\det(A) = [1 \cdot a \cdot (-5) + 3 \cdot 1 \cdot 1 + (-a) \cdot 1 \cdot 4] - [(-a) \cdot a \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 1 \cdot 4]$$ $$\det(A) = [-5a + 3 - 4a] - [-a^2 - 15 + 4]$$ $$\det(A) = -9a + 3 + a^2 + 11 = a^2 - 9a + 14$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 - 9a + 14 = 0$$ $$a = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}$$ Obtenemos dos valores: **$a = 7$** y **$a = 2$**.

Si $a \neq 2$ y $a \neq 7$, entonces $\det(A) \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rang}(A) = 3 = \text{rang}(A^*) = \text{nº de incógnitas}$$ Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. ✅ **Resultado Caso 1:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 2, 7: \text{ Sistema Compatible Determinado}}$$

Sustituimos $a = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & -5 & 6 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rang}(A) < 3$ porque $\det(A) = 0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de la matriz formada por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 6 \end{vmatrix} = (12 + 6 + 16) - (8 + 8 + 18) = 34 - 34 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 en $A^*$ son cero, $$\text{rang}(A) = 2 = \text{rang}(A^*) < 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado Caso 2:** $$\boxed{\text{Si } a = 2: \text{ Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Sustituimos $a = 7$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -7 & 4 \\ 1 & 7 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & -5 & 6 \end{array}\right)$$ Como antes, $\text{rang}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 7 - 3 = 4 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ con el determinante de las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 7 & 2 \\ 1 & 4 & 6 \end{vmatrix} = (42 + 6 + 16) - (28 + 8 + 18) = 64 - 54 = 10 \neq 0$$ Como hay un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Como $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado Caso 3:** $$\boxed{\text{Si } a = 7: \text{ Sistema Incompatible}}$$

**b) Resuélvelo razonadamente para el valor $a = 2$.** Hemos visto que si $a = 2$, el sistema es Compatible Indeterminado con $\text{rang}(A) = 2$. Usamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes, como demostró el menor de orden 2): $$\begin{cases} x + 3y - 2z = 4 \\ x + 2y + z = 2 \end{cases}$$ Pasamos la variable $z$ al otro lado como un parámetro $\lambda$: Sea **$z = \lambda$** ($ \lambda \in \mathbb{R}$): $$\begin{cases} x + 3y = 4 + 2\lambda \\ x + 2y = 2 - \lambda \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera para eliminar $x$: $$(x + 3y) - (x + 2y) = (4 + 2\lambda) - (2 - \lambda)$$ $$y = 2 + 3\lambda$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$x + 2(2 + 3\lambda) = 2 - \lambda$$ $$x + 4 + 6\lambda = 2 - \lambda$$ $$x = 2 - 4 - \lambda - 6\lambda = -2 - 7\lambda$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar la solución sustituyendo en la tercera ecuación original: $(-2-7\lambda) + 4(2+3\lambda) - 5\lambda = -2 - 7\lambda + 8 + 12\lambda - 5\lambda = 6$. Es correcta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = -2 - 7\lambda \\ y = 2 + 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$