Cálculo de integrales por partes y cambio de variable

**a) $\int_{0}^{\pi} (x^2 - 1) \cos x dx$** Para resolver esta integral definida, primero calculamos la integral indefinida asociada mediante el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ILATE: - $u = x^2 - 1 \implies du = 2x dx$ - $dv = \cos x dx \implies v = \sin x$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int (x^2 - 1) \cos x dx = (x^2 - 1) \sin x - \int 2x \sin x dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica "Un Día Vi Una Vaca Menos La Integral De Vestida De Uniforme" para recordar el orden de la integración por partes.

Necesitamos aplicar de nuevo la integración por partes para resolver la integral $\int 2x \sin x dx$: - $u = 2x \implies du = 2 dx$ - $dv = \sin x dx \implies v = -\cos x$ Aplicamos la fórmula: $$\int 2x \sin x dx = 2x(-\cos x) - \int -2 \cos x dx = -2x \cos x + 2 \int \cos x dx = -2x \cos x + 2 \sin x$$ Sustituimos este resultado en la expresión original: $$\int (x^2 - 1) \cos x dx = (x^2 - 1) \sin x - (-2x \cos x + 2 \sin x) = (x^2 - 1) \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x$$

Una vez obtenida la primitiva, aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $\pi$: $$\int_{0}^{\pi} (x^2 - 1) \cos x dx = \left[ (x^2 - 1) \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x \right]_{0}^{\pi}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = \pi$): $$F(\pi) = (\pi^2 - 1) \sin \pi + 2\pi \cos \pi - 2 \sin \pi = (\pi^2 - 1)(0) + 2\pi(-1) - 2(0) = -2\pi$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = (0^2 - 1) \sin 0 + 2(0) \cos 0 - 2 \sin 0 = 0 + 0 - 0 = 0$$ Restamos ambos valores: $$I = F(\pi) - F(0) = -2\pi - 0 = -2\pi$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\sin(\pi) = 0$ y $\cos(\pi) = -1$. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{-2\pi}$$

**b) $\int \frac{e^x}{e^{2x} + e^x - 2} dx$ (1,25 puntos por integral)** Tal como sugiere el enunciado, aplicamos el cambio de variable $e^x = t$. Para ello, derivamos ambos lados: $$e^x dx = dt$$ Sustituimos en la integral: $$\int \frac{e^x}{e^{2x} + e^x - 2} dx = \int \frac{dt}{t^2 + t - 2}$$ 💡 **Tip:** Observa que $e^{2x} = (e^x)^2 = t^2$. Como tenemos $e^x dx$ directamente en el numerador, la sustitución es inmediata.

La integral resultante es de una función racional. Primero, hallamos las raíces del denominador $t^2 + t - 2 = 0$: $$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies t_1 = 1, t_2 = -2$$ Descomponemos en fracciones simples: $$\frac{1}{(t-1)(t+2)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+2}$$ Multiplicando por el denominador común: $$1 = A(t+2) + B(t-1)$$ - Si $t = 1 \implies 1 = 3A \implies A = \frac{1}{3}$ - Si $t = -2 \implies 1 = -3B \implies B = -\frac{1}{3}$

Sustituimos los valores de $A$ y $B$ en la integral: $$\int \left( \frac{1/3}{t-1} - \frac{1/3}{t+2} \right) dt = \frac{1}{3} \ln|t-1| - \frac{1}{3} \ln|t+2| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos $(\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b})$: $$\frac{1}{3} \ln \left| \frac{t-1}{t+2} \right| + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable $t = e^x$: $$\frac{1}{3} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 2} \right| + C$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\dfrac{1}{3} \ln \left| \dfrac{e^x - 1}{e^x + 2} \right| + C}$$