Teorema de Bolzano y número de raíces

**a) Enuncia el teorema de Bolzano y justifica razonadamente que la gráfica de la función $f(x) = x^{15} + x + 1$ corta al eje $OX$ al menos una vez en el intervalo $[-1,1]$. (1,5 puntos)** El **Teorema de Bolzano** establece lo siguiente: Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signos opuestos ($f(a) \cdot f(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. Geométricamente, esto significa que si una función continua pasa de un valor negativo a uno positivo (o viceversa), necesariamente tiene que cruzar el eje $OX$ en algún punto intermedio. 💡 **Tip:** Recuerda que este teorema garantiza la **existencia** de al menos una raíz, pero no nos dice cuántas hay ni cuál es su valor exacto.

Para aplicar el teorema a la función $f(x) = x^{15} + x + 1$ en el intervalo $[-1, 1]$, comprobamos las dos condiciones: 1. **Continuidad:** $f(x)$ es una función polinómica, por lo que es continua en toda la recta real $\mathbb{R}$ y, en consecuencia, es continua en el intervalo cerrado $[-1, 1]$. 2. **Signo en los extremos:** Evaluamos la función en $x = -1$ y $x = 1$: - $f(-1) = (-1)^{15} + (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 = -1 \lt 0$ - $f(1) = (1)^{15} + (1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \gt 0$ Como $f(-1) = -1$ y $f(1) = 3$, la función cambia de signo en el intervalo $[-1, 1]$. Según el Teorema de Bolzano, existe al menos un valor $c \in (-1, 1)$ tal que $f(c) = 0$. Por tanto, la gráfica corta al eje $OX$ al menos una vez en dicho intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Queda justificado por el Teorema de Bolzano en } [-1, 1]}$$

**b) Calcula razonadamente el número exacto de puntos de corte con el eje $OX$ cuando $x$ recorre toda la recta real. (1 punto)** Para determinar el número exacto de raíces, estudiamos el crecimiento de la función calculando su derivada: $$f'(x) = 15x^{14} + 1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$: - Sabemos que $x^{14}$ es una potencia de exponente par, por lo que $x^{14} \ge 0$ para cualquier número real $x$. - Al multiplicar por 15 y sumar 1, obtenemos que $f'(x) = 15x^{14} + 1 \ge 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Dado que $f'(x) \gt 0$ para cualquier $x$, la función $f(x)$ es **estrictamente creciente** en todo su dominio ($\mathbb{R}$). 💡 **Tip:** Si una función es estrictamente monótona (siempre crece o siempre decrece), no puede cortar al eje $OX$ más de una vez, ya que una vez que lo cruza, no puede volver atrás para cruzarlo de nuevo.

Combinando los resultados anteriores: 1. Por el apartado (a), sabemos que existe **al menos un corte** con el eje $OX$ (en el intervalo $[-1, 1]$). 2. Por el estudio de la derivada, sabemos que la función es **estrictamente creciente**, lo que garantiza que no puede haber más de un corte. Por tanto, la función corta al eje $OX$ **exactamente una vez**. Podemos ver este comportamiento gráficamente: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Número exacto de puntos de corte: 1}}$$