Probabilidad en una distribución Normal

Primero, definimos la variable aleatoria que describe el problema. Sea $X$ el diámetro del interior de un anillo expresado en centímetros. Según el enunciado, $X$ sigue una **distribución normal** con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 10$ - Desviación típica: $\sigma = 0,03$ Por tanto, podemos escribirlo como: $$X \sim N(10; \, 0,03)$$ Para calcular probabilidades en esta distribución, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación**, para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para hallar las probabilidades.

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro mayor de 10,075? (1 punto)** Buscamos calcular $p(X \gt 10,075)$. 1. **Tipificamos** la variable: $$p(X \gt 10,075) = p\left(Z \gt \frac{10,075 - 10}{0,03}\right) = p\left(Z \gt \frac{0,075}{0,03}\right) = p(Z \gt 2,5)$$ 2. Como la tabla de la normal estándar solo ofrece valores para $p(Z \le z)$, aplicamos la **propiedad del complementario**: $$p(Z \gt 2,5) = 1 - p(Z \le 2,5)$$ 3. Buscamos el valor $2,5$ en la tabla $N(0, 1)$, que corresponde a $0,9938$: $$1 - 0,9938 = 0,0062$$ 💡 **Tip:** Si el área que buscas es la de la 'cola derecha' ($Z \gt z$), siempre debes restar a $1$ el valor que encuentres en la tabla. ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(X \gt 10,075) = 0,0062}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro entre 9,97 y 10,03? (1 punto)** Buscamos calcular $p(9,97 \lt X \lt 10,03)$. 1. **Tipificamos** ambos extremos del intervalo: $$p\left(\frac{9,97 - 10}{0,03} \lt Z \lt \frac{10,03 - 10}{0,03}\right) = p\left(\frac{-0,03}{0,03} \lt Z \lt \frac{0,03}{0,03}\right) = p(-1 \lt Z \lt 1)$$ 2. Aplicamos la propiedad de la probabilidad en un intervalo $(a, b)$: $$p(-1 \lt Z \lt 1) = p(Z \le 1) - p(Z \le -1)$$ 3. Por simetría de la campana de Gauss, $p(Z \le -1) = p(Z \ge 1) = 1 - p(Z \le 1)$. Sustituimos: $$p(Z \le 1) - [1 - p(Z \le 1)] = 2 \cdot p(Z \le 1) - 1$$ 4. Buscamos en la tabla el valor para $Z = 1$, que es $0,8413$: $$2 \cdot 0,8413 - 1 = 1,6826 - 1 = 0,6826$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, el intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$ siempre contiene aproximadamente el $68,26\%$ de la probabilidad total. ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(9,97 \lt X \lt 10,03) = 0,6826}$$