Límites con exponenciales y área entre curvas

**a) Calcular $\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \text{sen } x}{e^x + x}$. (1 punto)** Evaluamos el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$: - En el numerador: $3e^x \to +\infty$ y $\text{sen } x$ es una función acotada entre $[-1, 1]$. Por tanto, $3e^x - \text{sen } x \to +\infty$. - En el denominador: $e^x \to +\infty$ y $x \to +\infty$. Por tanto, $e^x + x \to +\infty$. Nos encontramos ante una indeterminación del tipo: $$\frac{\infty}{\infty}$$ 💡 **Tip:** Aunque podríamos dividir por el término dominante ($e^x$), utilizaremos la Regla de L'Hôpital como se indica en las instrucciones, aplicándola sucesivamente hasta resolver la indeterminación.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador de forma independiente: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \text{sen } x}{e^x + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{d}{dx}(3e^x - \text{sen } x)}{\frac{d}{dx}(e^x + x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \cos x}{e^x + 1}$$ Sigue apareciendo una indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$ (ya que $\cos x$ está acotado). Aplicamos L'Hôpital una segunda vez: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \cos x}{e^x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x + \text{sen } x}{e^x}$$ Ahora podemos separar la fracción para simplificar el cálculo: $$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3e^x}{e^x} + \frac{\text{sen } x}{e^x} \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( 3 + \frac{\text{sen } x}{e^x} \right)$$ Sabemos que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\text{sen } x}{e^x} = 0$, ya que es el cociente de una función acotada entre una función que tiende a infinito. Por tanto: $$3 + 0 = 3$$ ✅ **Resultado (límite):** $$\boxed{3}$$

**b) Encontrar el área del recinto limitado por las funciones $f(x) = |x| - 1$ y $g(x) = 1 - x^2$. (1 punto)** Primero, definimos la función valor absoluto por ramas: $$f(x) = \begin{cases} -x - 1 & \text{si } x \lt 0 \\ x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Observamos que ambas funciones son **pares**, ya que: - $f(-x) = |-x| - 1 = |x| - 1 = f(x)$ - $g(-x) = 1 - (-x)^2 = 1 - x^2 = g(x)$ Esto significa que la gráfica es simétrica respecto al eje $Y$, por lo que el área total será el doble del área calculada para la región $x \ge 0$. 💡 **Tip:** La simetría permite simplificar mucho los cálculos de áreas integrando solo en la parte positiva y multiplicando por dos.

Buscamos los puntos donde $f(x) = g(x)$ para determinar los límites de integración. Para $x \ge 0$: $$x - 1 = 1 - x^2 \implies x^2 + x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 1$ y $x_2 = -2$. Como estamos en el intervalo $x \ge 0$, nos quedamos con **$x = 1$**. Por simetría, el otro punto de corte es **$x = -1$**. Evaluamos cuál función está por encima en el intervalo $[0, 1]$ tomando un valor de prueba (ej. $x = 0$): - $g(0) = 1 - 0^2 = 1$ - $f(0) = 0 - 1 = -1$ Como $g(0) \gt f(0)$, la parábola $g(x)$ está por encima de la recta $f(x)$.

El área total es: $$A = 2 \cdot \int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{1} (1 - x^2 - (x - 1)) \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = 2 \cdot \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$A = 2 \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = 2 \left( \left( 2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - (0) \right)$$ $$A = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right)$$ $$A = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{7}{3} \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=|x|-1", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=1-x^2", "color": "#ef4444" }, { "id": "area", "latex": "f(x) \le y \le g(x) \{-1 \le x \le 1\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2.5, "right": 2.5, "bottom": -1.5, "top": 1.5 } } }