Optimización: Rectángulo de diagonal mínima

**E3.- De todos los rectángulos cuyo perímetro es 40 cm, encontrar el que tiene la diagonal de menor longitud. (2 puntos)** Sean $x$ e $y$ las longitudes de los lados del rectángulo (en cm). Sabemos que el perímetro es la suma de todos sus lados: $$P = 2x + 2y = 40$$ Podemos simplificar esta expresión dividiendo entre $2$: $$x + y = 20 \implies y = 20 - x$$ Como las longitudes deben ser positivas, tenemos la restricción $x \gt 0$ e $y \gt 0$, lo que implica que el dominio de nuestra variable será $x \in (0, 20)$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso siempre es identificar la función a minimizar/maximizar y la condición que relaciona las variables.

Queremos minimizar la longitud de la diagonal $d$. Aplicando el teorema de Pitágoras en el rectángulo: $$d = \sqrt{x^2 + y^2}$$ Sustituimos $y = 20 - x$ en la fórmula: $$d(x) = \sqrt{x^2 + (20 - x)^2} = \sqrt{x^2 + 400 - 40x + x^2} = \sqrt{2x^2 - 40x + 400}$$ Para facilitar los cálculos, en lugar de minimizar $d(x)$, podemos minimizar su cuadrado $f(x) = [d(x)]^2$, ya que el valor de $x$ que minimiza el cuadrado de una función positiva también minimiza la función original. $$f(x) = 2x^2 - 40x + 400$$ 💡 **Tip:** Trabajar con el cuadrado de la distancia (o diagonal) evita derivar raíces cuadradas, simplificando mucho la operación sin cambiar el resultado del extremo.

Calculamos la derivada de $f(x)$ para hallar los puntos críticos: $$f'(x) = 4x - 40$$ Igualamos la derivada a cero: $$4x - 40 = 0 \implies 4x = 40 \implies x = 10 \text{ cm}$$ Si $x = 10$, entonces $y = 20 - 10 = 10 \text{ cm}$. Esto sugiere que el rectángulo de diagonal mínima es un **cuadrado de lado 10 cm**.

Para confirmar que en $x = 10$ hay un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada o usamos la segunda derivada. **Opción A: Segunda derivada** $$f''(x) = 4$$ Como $f''(10) = 4 \gt 0$, por el criterio de la segunda derivada, existe un **mínimo relativo** en $x = 10$. **Opción B: Tabla de monotonía** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 10) & 10 & (10, 20) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Siempre es obligatorio justificar que el punto hallado es un máximo o un mínimo, ya sea mediante el signo de la derivada segunda o con una tabla de crecimiento.

Hemos determinado que las dimensiones del rectángulo que minimiza la diagonal son $x = 10$ cm e $y = 10$ cm. Calculamos el valor de dicha diagonal mínima: $$d = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14,14 \text{ cm}$$ El rectángulo de diagonal mínima entre todos los de perímetro 40 cm es el **cuadrado de lado 10 cm**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Lados: } 10 \text{ cm y } 10 \text{ cm (Cuadrado). Diagonal: } 10\sqrt{2} \text{ cm}}$$