Posición relativa de recta y plano con parámetros

**a) Encontrar $a$ y $b$ para que la recta este contenida en el plano. (1 punto)** Para resolver problemas de posiciones relativas entre rectas y planos, primero extraemos sus elementos característicos (vectores y puntos). Del plano $\pi \equiv ax + y - z + b = 0$, obtenemos su vector normal: $$\vec{n}_\pi = (a, 1, -1)$$ De la recta $r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}$, obtenemos su vector director y un punto contenido en ella: $$\vec{v}_r = (1, -1, 1)$$ $$P_r = (1, 2, 3)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$, se deben cumplir dos condiciones: 1. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Esto implica que su producto escalar es cero. 2. Cualquier punto de la recta, por ejemplo $P_r$, debe pertenecer al plano $\pi$. Calculamos la primera condición (perpendicularidad): $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 \implies (1, -1, 1) \cdot (a, 1, -1) = 0$$ $$1 \cdot a + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0$$ $$a - 1 - 1 = 0 \implies a - 2 = 0$$ $$\boxed{a = 2}$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar del vector director y el normal es cero, la recta es paralela al plano o está contenida en él.

Ahora aplicamos la segunda condición: el punto $P_r(1, 2, 3)$ debe satisfacer la ecuación del plano $\pi$ con el valor de $a=2$ ya obtenido: $$2x + y - z + b = 0$$ $$2(1) + (2) - (3) + b = 0$$ $$2 + 2 - 3 + b = 0$$ $$1 + b = 0 \implies b = -1$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = -1}$$

**b) ¿Existen valores $a$ y $b$ para que la recta sea perpendicular al plano? Razonar la posible respuesta negativa o encontrarlos en su caso. (1 punto)** Para que una recta sea perpendicular a un plano, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Esto significa que sus coordenadas deben ser proporcionales: $$\vec{v}_r = k \cdot \vec{n}_\pi \implies (1, -1, 1) = k(a, 1, -1)$$ Planteamos el sistema de ecuaciones por componentes: 1) $1 = k \cdot a$ 2) $-1 = k \cdot 1 \implies k = -1$ 3) $1 = k \cdot (-1)$ 💡 **Tip:** Dos vectores son paralelos si uno es múltiplo del otro. Sus componentes correspondientes deben mantener la misma razón.

Sustituimos $k = -1$ en las otras ecuaciones para comprobar la consistencia: - De la tercera ecuación: $1 = (-1) \cdot (-1) = 1$. Se cumple, lo que confirma que $k = -1$ es válido. - De la primera ecuación: $1 = (-1) \cdot a \implies a = -1$. ¿Qué ocurre con $b$? La perpendicularidad depende únicamente de las direcciones (vectores), por lo que el valor de $b$ no influye en que la recta sea perpendicular al plano. El parámetro $b$ solo desplaza el plano paralelamente a sí mismo. Por tanto, para cualquier valor de $b \in \mathbb{R}$, la recta será perpendicular al plano si $a = -1$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{a = -1, \quad b \in \mathbb{R}}$$