Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**a) Discutir, según los valores de $k$, cuándo $A$ tiene inversa y calcularla para $k = 2$. (1 punto)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ en función de $k$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot k + 0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 0) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot k + 1 \cdot 0 \cdot 0)$$ $$|A| = k - 1.$$ Para que exista la inversa $A^{-1}$, el determinante debe ser no nulo: $$k - 1 \neq 0 \implies k \neq 1.$$ **Conclusión de la discusión:** - Si **$k \neq 1$**, $|A| \neq 0$, por lo que **la matriz $A$ tiene inversa**. - Si **$k = 1$**, $|A| = 0$, por lo que **la matriz $A$ no tiene inversa**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es regular (invertible) si $|A| \neq 0$ y singular si $|A| = 0$.

Para $k = 2$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ y su determinante es $|A| = 2 - 1 = 1$. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$ obteniendo los cofactores de cada elemento: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz de adjuntos es: $Adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Como $A$ es simétrica, $(Adj(A))^T = Adj(A)$. Calculamos la inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^T = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado (Matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Para $k = 2$, resolver la siguiente ecuación matricial: $AX + B = AB$. (1 punto)** Primero aislamos el término que contiene la incógnita $X$: $$AX = AB - B.$$ Podemos simplificar el lado derecho factorizando la matriz $B$ (por la derecha): $$AX = (A - I)B,$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Para despejar $X$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros de la igualdad: $$A^{-1}AX = A^{-1}(AB - B)$$ $$X = A^{-1}AB - A^{-1}B$$ $$X = B - A^{-1}B.$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los productos es fundamental. Para eliminar $A$ de la izquierda de $X$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda.

Calculamos primero el producto $A^{-1}B$: $$A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 0-1 & 0-2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1+1 & 0+1 & 0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ Ahora, calculamos $X = B - A^{-1}B$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-(-1) & 0-(-2) \\ 0-0 & 1-1 & 2-2 \\ 1-0 & 1-1 & 2-2 \end{pmatrix}.$$ Efectuando las restas obtenemos el valor final de la matriz $X$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado (Ecuación matricial):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$