Probabilidad y Estadística 2018 Castilla y Leon
Lanzamiento de tres monedas: espacio muestral y probabilidades
E5.- Se lanzan tres monedas al aire:
a) Halla el espacio muestral. (1 punto)
b) Halla la probabilidad de:
i) Obtener más caras que cruces. ii) Obtener las mismas caras que cruces. (1 punto)
Paso 1
Construcción del espacio muestral
**a) Halla el espacio muestral. (1 punto)**
Al lanzar una moneda, tenemos dos resultados posibles: cara ($C$) o cruz ($X$). Al lanzar tres monedas, el número total de resultados posibles se calcula mediante variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 3 en 3: $VR_{2,3} = 2^3 = 8$.
Podemos visualizar los resultados mediante un árbol de probabilidad:
El espacio muestral $E$ está formado por todas las combinaciones posibles de resultados:
$$E = \{CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX\}$$
💡 **Tip:** El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{E = \{CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX\}}$$
Paso 2
Probabilidad de obtener más caras que cruces
**b) Halla la probabilidad de: i) Obtener más caras que cruces. ii) Obtener las mismas caras que cruces. (1 punto)**
Definimos el suceso $A$: "Obtener más caras que cruces".
En un lanzamiento de 3 monedas, obtener más caras que cruces significa obtener **3 caras** o **2 caras** (y por tanto 1 cruz).
Identificamos los casos favorables del espacio muestral $E$:
- 3 caras: $\{CCC\}$
- 2 caras: $\{CCX, CXC, XCC\}$
Total de casos favorables = $4$.
Total de casos posibles = $8$.
Aplicamos la regla de Laplace:
$$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$$
💡 **Tip:** La regla de Laplace se usa cuando todos los sucesos elementales son equiprobables (tienen la misma probabilidad).
✅ **Resultado i):**
$$\boxed{P(\text{más caras}) = 0.5}$$
Paso 3
Probabilidad de obtener las mismas caras que cruces
Definimos el suceso $B$: "Obtener las mismas caras que cruces".
Para que el número de caras sea igual al número de cruces en un experimento de $n$ lanzamientos, $n$ debe ser un número par.
Como lanzamos **3 monedas** (número impar), es imposible que el número de caras y cruces coincida, ya que las combinaciones posibles son:
- 3 caras, 0 cruces
- 2 caras, 1 cruz
- 1 cara, 2 cruces
- 0 caras, 3 cruces
No hay ningún caso en el que el número de caras sea igual al de cruces. Por lo tanto, el suceso $B$ es un **suceso imposible**.
$$P(B) = \frac{0}{8} = 0$$
💡 **Tip:** La probabilidad de un suceso imposible siempre es 0.
✅ **Resultado ii):**
$$\boxed{P(\text{mismas caras que cruces}) = 0}$$