Rectas tangentes y área entre curvas de la función seno

**a) Encontrar las rectas tangentes a la gráfica de la función $f(x)$ en los puntos $x = 0$ y $x = \pi$. Encontrar el punto en que se cortan ambas rectas tangentes. (1 punto)** Para hallar la ecuación de una recta tangente, necesitamos la función y su derivada evaluadas en el punto de abscisa correspondiente. Dada $f(x) = \text{sen } x$, su derivada es: $$f'(x) = \cos x$$ Para $x = 0$: 1. Punto de tangencia: $f(0) = \text{sen } 0 = 0$. El punto es $(0, 0)$. 2. Pendiente: $m_1 = f'(0) = \cos 0 = 1$. Aplicamos la fórmula de la recta tangente: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ $$y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de la función en un punto nos da la pendiente de la recta tangente en dicho punto. $$\boxed{r_1: y = x}$$

Realizamos el mismo procedimiento para el punto $x = \pi$: 1. Punto de tangencia: $f(\pi) = \text{sen } \pi = 0$. El punto es $(\pi, 0)$. 2. Pendiente: $m_2 = f'(\pi) = \cos \pi = -1$. Aplicamos la fórmula de la recta tangente: $$y - 0 = -1(x - \pi)$$ $$y = -x + \pi$$ ✅ **Resultado (rectas tangentes):** $$\boxed{r_1: y = x, \quad r_2: y = -x + \pi}$$

Para hallar el punto de intersección entre ambas rectas, igualamos sus ecuaciones: $$x = -x + \pi$$ $$2x = \pi \implies x = \frac{\pi}{2}$$ Sustituimos el valor de $x$ en cualquiera de las rectas para obtener la ordenada: $$y = x = \frac{\pi}{2}$$ El punto de corte es $P\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. 💡 **Tip:** El punto de corte se halla resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones lineales. $$\boxed{P\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)}$$

**b) Hallar el área comprendida entre la gráfica de $f(x)$ y las rectas de ecuaciones: $y = x$ e $y = -x + \pi$. (1 punto)** Observamos que el recinto está limitado por tres funciones: - La curva $f(x) = \text{sen } x$ - La recta $y = x$ (tangente en $x=0$) - La recta $y = -x + \pi$ (tangente en $x=\pi$) Las rectas se cortan en $x = \pi/2$. En el intervalo $[0, \pi]$, las rectas están siempre por encima de la curva $\text{sen } x$. Por simetría de la función seno respecto a $\pi/2$, el área total será el doble del área desde $0$ hasta $\pi/2$: $$A = \int_{0}^{\pi/2} (x - \text{sen } x) \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-x + \pi - \text{sen } x) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} (x - \text{sen } x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Para calcular el área entre dos curvas $g(x)$ y $h(x)$ en un intervalo $[a, b]$, usamos $\int_a^b |g(x) - h(x)| \, dx$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=\\sin(x)", "color": "#2563eb" }, { "id": "r1", "latex": "y=x", "color": "#ef4444" }, { "id": "r2", "latex": "y=-x+\\pi", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg1", "latex": "\\sin(x) \\le y \\le x \\{0 \\le x \\le \\pi/2\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "\\sin(x) \\le y \\le -x+\\pi \\{\\pi/2 \\le x \\le \\pi\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 3.5, "bottom": -0.5, "top": 2.0 } } }

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$I = \int_{0}^{\pi/2} (x - \text{sen } x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \cos x \right]_{0}^{\pi/2}$$ Evaluamos en los límites: $$I = \left( \frac{(\pi/2)^2}{2} + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( \frac{0^2}{2} + \cos 0 \right)$$ $$I = \left( \frac{\pi^2}{8} + 0 \right) - (0 + 1) = \frac{\pi^2}{8} - 1$$ El área total es el doble: $$Area = 2 \cdot \left( \frac{\pi^2}{8} - 1 \right) = \frac{\pi^2}{4} - 2$$ Calculando el valor aproximado: $$Area \approx \frac{9.8696}{4} - 2 \approx 2.4674 - 2 = 0.4674 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 \text{ u}^2}$$