Estudio de parámetros y asíntotas de una función racional

**a) Encontrar $a$ y $b$ para que la función tenga un mínimo relativo en el punto $(\frac{1}{2}, 6)$. (1 punto)** Si la función tiene un mínimo relativo en $x = \frac{1}{2}$, su derivada en ese punto debe ser igual a cero. Primero, calculamos la derivada de $f(x) = \frac{1}{x} + ax + b$. Reescribimos $f(x)$ como $f(x) = x^{-1} + ax + b$ para derivar más fácilmente: $$f'(x) = -x^{-2} + a = -\frac{1}{x^2} + a$$ Imponemos la condición $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$: $$-\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} + a = 0 \implies -\frac{1}{1/4} + a = 0 \implies -4 + a = 0$$ $$\mathbf{a = 4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función derivable tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en $x_0$, entonces $f'(x_0) = 0$.

Además de ser un extremo, el enunciado indica que el punto $(\frac{1}{2}, 6)$ pertenece a la gráfica de la función. Por tanto, se debe cumplir que $f\left(\frac{1}{2}\right) = 6$. Sustituimos $x = \frac{1}{2}$ y el valor de $a = 4$ en la función original: $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{1/2} + 4\left(\frac{1}{2}\right) + b = 6$$ $$2 + 2 + b = 6$$ $$4 + b = 6 \implies \mathbf{b = 2}$$ Para confirmar que es un mínimo, comprobamos la segunda derivada: $$f''(x) = \left(-\frac{1}{x^2} + 4\right)' = \frac{2}{x^3}$$ $$f''\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{(1/2)^3} = 16 \gt 0$$ Como la segunda derivada es positiva, efectivamente se trata de un mínimo relativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 4, \quad b = 2}$$

**b) Suponiendo que $a = 4$ y $b = 2$, estudia su continuidad y, en el caso de tenerlas, sus asíntotas. (1 punto)** Con los valores obtenidos, la función es $f(x) = \frac{1}{x} + 4x + 2$. Podemos escribirla como una única fracción: $$f(x) = \frac{1 + 4x^2 + 2x}{x}$$ El dominio de esta función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ La función es continua en todo su dominio por ser una función racional. En $x = 0$ presenta una discontinuidad. ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Para buscar asíntotas verticales, analizamos el límite en el punto donde la función no está definida ($x = 0$): $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} + 4x + 2 \right)$$ Calculamos los límites laterales: - $\lim_{x \to 0^-} \left( \frac{1}{x} + 4x + 2 \right) = -\infty$ - $\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} + 4x + 2 \right) = +\infty$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en la recta de ecuación $x = 0$ (el eje de ordenadas). ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{x = 0}$$

**Asíntotas horizontales:** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{1}{x} + 4x + 2 \right) = 0 \pm \infty + 2 = \pm\infty$$ No existen asíntotas horizontales. **Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$):** Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{1}{x^2} + 4 + \frac{2}{x} \right) = 0 + 4 + 0 = 4$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{1}{x} + 4x + 2 - 4x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{1}{x} + 2 \right) = 0 + 2 = 2$$ La asíntota oblicua es la recta $y = 4x + 2$. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, siempre habrá una asíntota oblicua. En este caso, al estar ya separada la fracción en $\frac{1}{x} + (4x + 2)$, la parte polinómica $4x + 2$ es directamente la asíntota oblicua. ✅ **Resultado (A.O.):** $$\boxed{y = 4x + 2}$$