Intersección de recta y plano y construcción de recta perpendicular

**a) Calcular el punto de intersección del plano $\pi$ y de la recta $r$. (1 punto)** Para hallar la intersección de una recta y un plano, es muy útil expresar la recta en ecuaciones paramétricas. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos: $$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $y$: $$(x + y + z) + (x - y + z) = 0 + 2 \implies 2x + 2z = 2 \implies x + z = 1 \implies z = 1 - x$$ Restamos la segunda a la primera para eliminar $x$ y $z$: $$(x + y + z) - (x - y + z) = 0 - 2 \implies 2y = -2 \implies y = -1$$ Si llamamos $x = \lambda$, las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = -1 \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos un punto de la recta $R(0, -1, 1)$ y su vector director $\vec{v}_r = (1, 0, -1)$. 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, también puedes resolver el sistema dejando una variable como parámetro o calcular el vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos.

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi \equiv 2x + y + z - 3 = 0$: $$2(\lambda) + (-1) + (1 - \lambda) - 3 = 0$$ $$2\lambda - 1 + 1 - \lambda - 3 = 0$$ $$\lambda - 3 = 0 \implies \lambda = 3$$ Ahora, sustituimos el valor de $\lambda = 3$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas del punto de intersección $P$: $$x = 3$$ $$y = -1$$ $$z = 1 - 3 = -2$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P(3, -1, -2)}$$

**b) Encontrar la ecuación de la recta $s$ contenida en el plano $\pi$ y que corta perpendicularmente a $r$. (1 punto)** La recta $s$ debe cumplir tres condiciones: 1. Estar contenida en el plano $\pi$ ($s \subset \pi$). 2. Cortar a la recta $r$ ($s \cap r \neq \emptyset$). 3. Ser perpendicular a $r$ ($s \perp r$). Si la recta $s$ está en el plano $\pi$ y corta a la recta $r$, el punto de corte debe ser necesariamente el punto de intersección entre $r$ y el plano $\pi$, que hemos calculado en el apartado anterior: **$P(3, -1, -2)$**. Por tanto, la recta $s$ pasa por el punto $P$.

El vector director de $s$, $\vec{v}_s$, debe cumplir: - Al estar contenida en $\pi$, es perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (2, 1, 1)$. - Al ser perpendicular a $r$, es perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r = (1, 0, -1)$. Por tanto, $\vec{v}_s$ tiene la dirección del producto vectorial de $\vec{n}_\pi$ y $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_\pi \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus (o desarrollo por adjuntos): $$\vec{v}_s = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_s = \vec{i}(-1 - 0) - \vec{j}(-2 - 1) + \vec{k}(0 - 1) = -1\vec{i} + 3\vec{j} - 1\vec{k}$$ $$\vec{v}_s = (-1, 3, -1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ siempre genera un vector perpendicular a ambos, $\vec{a}$ y $\vec{b}$.

Conocemos un punto de la recta $P(3, -1, -2)$ y su vector director $\vec{v}_s = (-1, 3, -1)$. Podemos escribir su ecuación en forma continua: $$s \equiv \frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{-1}$$ O bien, en forma paramétrica: $$s \equiv \begin{cases} x = 3 - \mu \\ y = -1 + 3\mu \\ z = -2 - \mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{s \equiv \frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{-1}}$$